Rovnice 2. stupně

Tyto rovnice mají tvar 

a*x2 +  b*x + c = 0.
(Pro tento typ rovnic se koeficienty běžně označují a, b, c, nikoli a2, a1, a0.)

Řešíme je s pomocí proslulého vzorce:

x = (−b ± √(b2 − 4*a*c)) / (2*a)


Příklad 1
Vyřešte rovnici x2 + 11*x - 29 = 0.

Řešení
Použitím vzorců dostáváme
 
      x = (-11 + √(121 - 4*1*(-29))) / 2 * 1
      x = (-11 + √(121 + 116)) / 2
      x = (-11 + √(237)) / 2
      x1 = (-11 + 15,4) / 2
      x1 = 2,2
      x2 = (-11 - 15,4) / 2
      x2 = -13,2

Řešení rovnice x2 + 11*x - 29 = 0 má dva reálné kořeny.


Příklad 2
Vyřešte rovnici x2 + 11*x + 129 = 0.

Řešení
Použitím vzorců dostáváme:
 
      x = (-11 + √(121 - 4*1*129)) / 2 * 1
      x = (-11 + √(121 - 516)) / 2
      x = (-11 + √(-395)) / 2
      x1 = (-11 + i*19,87) / 2
      x1 = -5,5 + i*9,935
      x2 = (-11 - i*19,87) / 2
      x2 = -5,5 - i*9,935

Řešení rovnice x2 + 11*x + 129 = 0 má dva komplexní kořeny. Protože všechny koeficienty rovnice jsou reálná čísla, jsou kořeny komplexně sdružené.


Příklad 3
Vyřešte rovnici 
x2 + (-10 - 7*i)*x + 1 + 22*i = 0.
Řešení
  • Použitím vzorců dostáváme:
  • x = (-b + √(b2 − 4*a*c)) / 2*a
    x = (10 + 7*i + √((-10 - 7*i)2 − 4*1*(1 + 22*i))) / 2*1
    x = (10 + 7*i + √(100 + 140*i - 49 − 4 - 88*i)) / 2
    x = (10 + 7*i + √(47 + 52*i)) / 2
  • Spočteme výraz √(47 + 52*i):
    • Převedeme 47 + 52*i na goniometrický tvar:
      • r = 47 + 52*i = √( 472 + 522) = √( 1764 + 2704) = 66.84
      • φ = arctg(52/47) = arctg(1.1064) = 47,89° 
      • 47 + 52*i = 66.84 * (cos(47,89°) + i * sin(47,89°))
    • Odmocníme 66.84 * (cos(47,89°) + i * sin(47,89°)):
      • √(66.84 * (cos(47,89°) + i * sin(47,89°))) =
      • √66.84 * (cos(47,89°/2) + i * sin(47,89°/2)))
    • Převedeme √66.84 * (cos(23,945°) + i * sin(23,945°))) na algebraický tvar:
      • 8,1756 * (0,9139 + i * 0.40586) = 7.4717 + 3,3181*i
      •  
  • Pokračujeme ve výpočtu kořenů rovnice:
  • x = (10 + 7*i + √(47 + 52*i)) / 2
    • Z toho první kořen:
    • x1 = (10 + 7*i + 7.4717 + 3,3181*i) / 2
      x1 = (17,4717 + 10,3181*i) / 2
      x1 = 87,36 + 5,16*i
    • Z toho druhý kořen:
    • x2 = (10 + 7*i - 7.4717 - 3,3181*i) / 2
      x2 = (2.528 + 3,619*i) / 2
      x2 = 1,264 + 1,81*i

Řešení rovnice x2 + (-10 - 7*i)*x + 1 + 22*i = 0 má dva komplexní kořeny. Protože všechny koeficienty rovnice nejsou reálná čísla, kořeny nejsou komplexně sdružené.




Animace kvadratické rovnice
Pro rovnici ve tvaru a* x2 + b * x + c = 0 nastavte parametry:

a = 

b = 

c = 

Kořen x1

Kořen x2 

Sorry, your browser does not support canvas.