Rovnice v obecném tvaru

Úvod

Každou rovnici můžeme napsat mnoha způsoby. Například rovnici 3x + 5 = 17 lze zapsat též jako:

3x - 12
 = 0
x  - 4
 = 0
x
 = 4
6x
 = 24
6x  - 24
 = 0
6x  - 30
 = -6

Aby se matematikům s rovnicemi lépe pracovalo a aby mohli snadněji používat různé nástroje a postupy pro jejich řešení, snaží se rovnice zapisovat v tzv. obecném tvaru:

Obecným tvarem rovnice nazveme tvar, ve kterém:

  • Všechny nenulové členy zápisu jsou převedeny na levou stranu, vpravo zůstává 0.
  • Je-li na levé straně polynom, je upraven tak, aby:
    • jeho členy byly uspořádány zleva doprava od vyšších mocnin proměnných k nižším,
    • koeficient u proměnné v nejvyšší mocnině byl roven 1.
Příklad

Je dána rovnice 5 - 6x + 3x2 = 17. Odvoďte její obecný tvar.

Řešení

Rovnici budeme postupně upravovat:

5 - 6x + 3x2
 = 17     // původní tvar rovnice
-12 - 6x + 3x2
 = 0     // 17 převedeno vlevo
3x2 - 6x  - 12
 = 0     // členy polynomu srovnány podle mocniny
x2 - 6/3 * x  - 12/3
 = 0     // koeficient nejvyšší mocniny převeden na 1
x2 - 2x  - 4
 = 0     // drobné úpravy



Kořeny rovnice

Řešení rovnice v obecném tvaru se nazývají kořeny rovnice.

Pokud lze levou stranu rovnice v obecném tvaru vyjádřit jako součin několika členů, které mají stejný kořen, potom tento kořen nazveme násobným kořenem a počet členů součinu nazveme násobností kořenu.


Příklad

Najděte všechny kořeny rovnice x3 + x2 - 16x + 20 = 0, kterou lze přepsat na součin
(x + 5) * (x - 2) * (x - 2) = 0.

Řešení

  • Rovnice je součinem tří dvojčlenů a tedy:
    • x = -5 je kořen, protože pro takové x je rovnice splněna (to ovšem bylo řečeno již v zadání).
    • x = 2 je rovněž kořen, protože i pro takové x je rovnice splněna. Navíc však jde o kořen dvojnásobný, protože levou stranu lze zapsat ve tvaru dvou členů s kořenem x = 2.
    • Další kořeny rovnice nemá, protože pro každé další x jsou všechny tři součinitelé nenuloví a tedy i součin je nenulový.
    • Celkem má tedy rovnice tři kořeny.


Příklad

Najděte všechny kořeny rovnice sin(x) * x - x - sin(x) * π/2 + π/2 = 0, kterou lze přepsat na součin dvou součinitelů (sin(x) - 1) * (x - π/2) = 0.

Řešení

  • Rovnice je součinem dvou dvojčlenů a tedy:
    • pro každé k celé číslo je x = π/2 + k*2*π kořenem, protože pro takové x je rovnice splněna.
    • x = π/2 je navíc kořen dvojnásobný, protože nuluje oba součinitele.
    • Další kořeny rovnice nemá, protože pro každé další x jsou oba součinitelé nenuloví a tedy i součin je nenulový.
    • Celkem má tedy rovnice nekonečně mnoho kořenů.