Metoda dělení intervalu
  • Tento postup je zcela obecný, tj. nemusíme mít žádné dodatečné informace o funkci levé strany rovnice. Program, pokud je to možné, automaticky vyhledá interval
  • <xz, xk> takový, že na jeho koncích mají hodnoty funkce na levé straně rovnice opačná znaménka.
  • Musíme počítat s tím, že program někdy neuspěje. Důvody mohou být tyto:
    • Rovnice nemá žádné kořeny podle definice. Příkladem je rovnice x2 + 5 = 0. Její hodnoty jsou vždy ≥ 5 a tedy nemá ani jeden reálný kořen (Má sice kořeny v komplexním oboru, ale ty my zde nevyšetřujeme). 
    • Rovnice má kořeny mimo interval testovaný programem. Příkladem je rovnice x * 0,001 + 1000 = 0. Jejím kořenem je x = -1000 000. Pokud program testuje pouze interval <-100 000; 100 000>, ke kořenu se nedostane.
    • Problém lze ovšem vyřešit zadáním širšího intervalu.
    • Rovnice sice má kořeny v intervalu testovaném programem, její graf však osu x neprotíná, pouze se jí dotýká. Příkladem je rovnice x2 - 5 = 0. Její graf se pouze dotýká osy x v bodě 0, rovnice tam má dvojnásobný kořen.
    • Tento problém lze obecně vyřešit pouze použitím důmyslnějších metod řešení, kterými se zde nezabýváme.
  • Pokud program nalezl potřebný interval <xz, xk>, potom na tento interval můžeme opět použít tuto metodu s jemnějším krokem (třeba tisíckrát) nebo metodu půlení intervalu.



Příklad

Nalezněte kořeny rovnice (x2 - 3) / (4x - 1).

Řešení

  • Vyplníme vstupní formulář:
  • Po stisknutí tlačítka "Dále" proběhne řešení rovnice metodou dělení intervalu, vykreslení grafu funkce levé strany rovnice a výpis výstupních hodnot:
  • S výsledků je vidět, že jsme získali řešení ležící mezix = -1,74 a x = -1,73. Jeho platné cifry jsou tedy jistě 1,73, což je pro některé účely dostačující přesnost.


  • Z grafu funkce vidíme, že další kořen rovnice leží blízko hodnoty x = 2, můžeme jej proto vyhledat opětovným použitím metody dělení intervalu, například takto:
  • Po stisknutí tlačítka "Dále" proběhne řešení rovnice metodou dělení intervalu, vykreslení grafu funkce levé strany rovnice a výpis výstupních hodnot:
  • Z výsledků je vidět, že jsme získali řešení ležící mezi x = 1,73 a x = 1,74. Jeho platné cifry jsou tedy jistě 1,73, což je pro některé účely dostačující přesnost.
  • Takto jsme získali druhý kořen. Rovnice jich více nemá. Jednak tomu napovídá graf, jednak diskuze rovnice (x2 - 3) / (4x - 1):
    • Rovnice není definována pro x = 1/4, pro ostatní x je definována a jmenovatel je vždy nenulový.

    • Kořen může být jen tam, kde bude nulový čitatel, tj. kde bude platit
      x2 - 3 = 0, po úpravách:
      x2 = 3
      x = √3, tedy kořeny jsou -√3 a √3, jak jsme i našli naší přibližnou metodou.


Program pro výpočet kořene dělením intervalu

Zadejte vstupní data:

Levý okraj intervalu: x left
Pravý okraj intervalu: x right
Velikost kroku: k
Rovnice: 0

Po stisknutí tlačítka Spustit výpočet proběhne vykreslení grafu funkce levé strany rovnice, řešení rovnice metodou dělení intervalu a výpis výstupních hodnot:

Sorry, your browser does not support canvas.