Konstanty, proměnné a parametry

Tyto pojmy jsou známé ze základní školy. Používají se tam při řešení úloh, ale nemají své matematické názvy.

Objevují se také při zadávání množin a při této příležitosti si je přesně popíšeme.
 


Konstanty

Konstantou nazýváme objekt, který má pevně přiřazenou hodnotu.

Příklady

  • Číselné konstanty:
  • Nečíselné konstanty:
    • Antarktida - jméno kontinentu,
    • netrpělivost - jméno vlastnosti,
    • třináctka - slovní zápis čísla 13.



Proměnné

Proměnnou nazýváme objekt, který:

  • Označuje prvek neznámý na počátku řešení úlohy. Cílem řešení úlohy je tento prvek určit.
  • Proměnná má stanovenu množinu prvků, které může označovat (ukazovat na ně). Tato množina se nazývá definiční obor proměnné.
Jsou-li definičním oborem proměnné čísla, proměnná se nazývá číselnou proměnnou. Jinak ji nazveme nečíselnou proměnnou.

Poznámka


V běžných úlohách s číselnými proměnnými se z důvodu stručnosti často vynechává určení definičního oboru proměnných. V tom případě se za definiční obor bere obor všech reálných čísel.

Příklad
  • Zjistěte reálné číslo, kterým musíme vydělit číslo 55, aby výsledek byl 11.
Řešení
  • Hledané číslo si označíme x.
  • Definičním oborem této proměnné jsou reálná čísla.
  • x je tedy číselná proměnná.
  • Slovní popis příkladu převedeme na matematický: dostaneme 55 / x = 11.
  • Tento zápis je vzorcem, do kterého můžeme dosazovat rozličná reálná čísla a zkoumat, platí-li rovnost.
  • Vyjímkou je číslo 0, které z definičního oboru musíme vyloučit,
    protože pro x = 0 nelze vzorec vyčíslit.
  • Příklad můžeme zapsat množinovým zápisem, který jej popisuje úplně:
    J = { x ∈ ; x 0 | 55 / x = 11 }.
    Tento zápis čteme: Množina J všech x z , různých od 0 a splňujících podmínku 55 / x = 11.
  • Vzorec můžeme přepsat na:
    55 = 11 * x
    x = 55 / 11
    x = 5
    .
    Tak jsme našli číslo vyhovující podmínce, množina J obsahuje právě toto číslo a toto číslo je řešením zadaného příkladu


Příklad
  • Zjistěte, který ze světadílů je druhý nejmenší.
Řešení
  • Hledané jméno světadílu si označíme s.
  • Definičním oborem s jsou názvy všech světadílů, tedy s může být Amerika, Antarktida, Afrika, Evropa, Asie nebo Austrálie.
  • Je to nečíselná proměnná.
  • Abychom úlohu vyřešili, sestavíme si tabulku:
    • Amerika - 42 500 000 km2,
    • Antarktida - 13 700 000 km2,
    • Afrika - 31 400 000 km2,
    • Evropa - 10 200 000 km2,
    • Asie - 44 600 000 km2,
    • Austrálie - 8 500 000 km2.
  • Z tabulky vybereme světadíl se druhou nejmenší rozlohou, tedy výsledkem je
    s = Evropa.


Definiční obor musí být stanoven

Pokud v nějaké úloze není stanoven definiční obor nějaké proměnné, zadání úlohy není úplné a tedy ji nelze řešit. 

Příklad

Najděte všechna čísla x menší než 1.

Řešení

Bez znalosti definičního oboru x není úloha dostatečně popsána a tedy ji nelze řešit:

  • Pokud by definičním oborem x byl obor přirozených čísel, řešení by neexistovalo.
  • Pokud by definičním oborem x byl obor celých čísel, řešení by existovalo nekonečně mnoho, byla by to čísla 0; -1; -2; -3; ....
  • Pokud by definičním oborem x byl obor reálných čísel, řešení by existovalo nekonečně mnoho, byla by to všechna reálná čísla x < 1.


Definiční obor lze upravovat
Definiční obory je někdy třeba upravovat, například pokud se proměnná během úprav ocitne ve jmenovateli zlomku, musíme její definiční obor zúžit o hodnoty, které by ve výrazu způsobily dělení nulou.

Příklad

Zjednodušte výraz a * (b + 2) = 3 obsahující proměnné a a b definované v oboru reálných čísel.

Řešení

  • Výraz upravíme na tvar a = 3 / (b + 2).
  • Vidíme ovšem, že definiční obor b musíme zúžit o číslo -2, abychom vyloučili dělení nulou.
  • Věcně se tím nijak neochuzujeme, protože již původní výraz byl pro b = -2 nevyčíslitelný. 


Parametry

Parametry mají podobné určení jako proměnné:


Parametrem nazýváme objekt, který:
  • Označuje hodnotu nastavenou na počátku řešení úlohy. Tato hodnota se v průběhu řešení nemění.
  • Má stanoveno, jakých hodnot může nabývat. Obor těchto hodnot se nazývá definiční obor parametru.
Jsou-li definičním oborem parametru čísla, parametr se nazývá číselným parametrem. Jinak jej nazveme nečíselným parametrem.

Rozdíl mezi proměnnými a parametry je tedy jen ve způsobu jejich použití:

Příklad

Závodník ve skoku do dálky chce docílit co nejdelšího skoku. Proto potřebuje prozkoumat, jaká délka rozběhu (počet kroků) je nejlepší.

Řešení

Závodník si výzkum rozdělil na několik úloh, každá z nich pracovala s parametrem r a proměnnou s:
  1. Úloha: rozběh r = 10 kroků, délka skoku s.
  2. Úloha: rozběh r = 12 kroků, délka skoku s.
  3. Úloha: rozběh r = 14 kroků, délka skoku s.
  4. Úloha: rozběh r = 16 kroků, délka skoku s.
  5. Úloha: rozběh r = 18 kroků, délka skoku s.
  6. Úloha: rozběh r = 20 kroků, délka skoku s.
  7. Úloha: rozběh r = 22 kroků, délka skoku s.
Po vyřešení úloh, tj. po praktických pokusech na hřišti závodník dostal tabulku výsledků:
  1. Úloha: rozběh r = 10 kroků, délka skoku s = 4,80 m.
  2. Úloha: rozběh r = 12 kroků, délka skoku s = 5,20 m.
  3. Úloha: rozběh r = 14 kroků, délka skoku s = 5,40 m.
  4. Úloha: rozběh r = 16 kroků, délka skoku s = 5,55 m.
  5. Úloha: rozběh r = 18 kroků, délka skoku s = 5,60 m.
  6. Úloha: rozběh r = 20 kroků, délka skoku s = 5,57 m.
  7. Úloha: rozběh r = 22 kroků, délka skoku s = 5,50 m.
Nakonec tedy závodník zjistil, že nejdelší skok byl dlouhý 5,60 m a že jej skočil při rozběhu 18 kroků.


Příklad
  • Je zadáno:
    • Vzorec x * 3 + 2 * k = 0.
    • k je parametr nabývající hodnot z oboru reálných čísel,
    • x je proměnná nabývající hodnot z oboru reálných čísel,
  • Požadavek:
    • Spočtete x vyhovující vzorci pro k = 0; 1; -5.
Řešení
  • Situaci si můžeme zapsat třemi množinovými zápisy:
    J0 = { k ∈ x ∈ | x * 3 + 2 * k = 0; k = 0 },
    J1 = { k ∈ x ∈ | x * 3 + 2 * k = 0; k = 1 },
    J2 = { k ∈ x ∈ | x * 3 + 2 * k = 0; k = 5 }.
  • Vzorec si upravíme:
    • x * 3 = -2 * k
    • x       = (-2 * k) / 3
  • Nyní do něj budeme dosazovat požadovaná k:
    • pro k = 0 dostaneme x = (-2  * 0) / 3 = 0,
    • pro k = 1 dostaneme x = (-2  * 1) / 3 = -2/3,
    • pro k = -5 dostaneme x = (-2  * -5) / 3 = 10 / 3.
  • Výsledkem jsou tři množiny:
    J0 = { x = 0 },
    J1 = { x = -2/3 },
    J2 = { x = 10/35 }.