Operace se zobrazeními


Součet zobrazení
  • Jsou-li zadána dvě zobrazení F1 a F2 taková, že:
  • potom můžeme definovat součet zobrazení F1 + F2 jako zobrazení G, které každému prvku z definičního oboru přiřadí součet čísel přiřazených tomuto prvku zobrazeními F1 a F2.

Příklad

Máme zadána dvě zobrazení vyhovující definici součtu zobrazení:

  • F1 s přiřazovacím pravidlem:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = 3 * x2.
  • F2 s přiřazovacím pravidlem:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = 2 * x3.
Sestavte součet těchto zobrazení.

Řešení

Součtem těchto zobrazení bude zobrazení:

  • G s definičním oborem čísla reálná, s oborem hodnot čísla reálná, přiřazovacím pravidlem bude:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = 3 * x2 + 2 * x3.



Součin zobrazení
  • Jsou-li zadána dvě zobrazení F1 a F2 taková, že:
  • potom můžeme definovat násobek zobrazení F1 * F2 jako zobrazení G, které každému prvku z definičního oboru přířadí součin čísel přiřazených tomuto prvku zobrazeními F1 a F2.
Příklad

Máme zadána dvě zobrazení vyhovující definici součinu zobrazení:

  • F1 s přiřazovacím pravidlem:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = 3 * x2.
  • F2 s přiřazovacím pravidlem:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = 2 * x3.
Sestavte součin těchto zobrazení.

Řešení

Součinem těchto zobrazení bude zobrazení:

  • G s definičním oborem čísla reálná, s oborem hodnot čísla reálná, přiřazovacím pravidlem bude:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = (3 * x2) * (2 * x3).

Součin zobrazení a konstanty
  • Je-li zadáno:
  • potom můžeme definovat k-násobek zobrazení F1 jako zobrazení G, které každému prvku z definičního oboru přiřadí k-násobek čísla přiřazenému tomuto prvku zobrazením F1
Příklad

Máme zadáno zobrazení vyhovující definici součinu zobrazení a konstanty:

  • F1 s přiřazovacím pravidlem:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = 3 * x2.
  • k = 5.
Sestavte součin tohoto zobrazení a konstanty.

Řešení

Součinem tohoto zobrazení a konstanty bude zobrazení:

  • G s definičním oborem čísla reálná, s oborem hodnot čísla reálná, přiřazovacím pravidlem bude:
  • ke každému x z definičního oboru přiřaď y takové, že y = (3 * x2) * 5.

Inverzní zobrazení

Jak jsme viděli dříve, binární relace je symetrická v tom smyslu, že vždy existuje inverzní relace, vždy ji tedy lze otočit.

Zobrazení takto symetrické obecně není, protože je lze otočit pouze v případech, že je prosté. Jinak bychom se po inverzi dostali do situace, kdy dva nebo více prvků z definičního oboru mají stejný obraz a to definice zobrazení vylučuje.

Můžeme tedy říci:

Jestliže A je prosté zobrazení, potom inverzní relaci k A nazveme inverzním zobrazením k A. Označujeme je A-1.

V inverzním zobrazení se prohazují pojmy:

Příklad

Obrázek znázorňuje prosté zobrazení A:

Zobrazení inverzní k A je A-1:

Jeho:
  • Definičním oborem je {Brno; Kralupy; Jihlava; Strakonice; Turnov; Liberec}, tedy A2 mimo prvku Karlovy Vary.
  • Oborem hodnot  je {Karel; Eva; Jan; Josef;Řehoř;Anička},
    tedy
    A1 mimo prvků Karl a Ahmed.


Složené zobrazení

Máme-li zadána dvě zobrazení F1 a F2 taková, že obor hodnot F1 je podmnožinou definičního oboru F2, můžeme sestavit složené zobrazení F = F2 ∘ F1.

Takto můžeme skládat i více zobrazení.

Příklad

Složením dvou zobrazení 

získáme nové zobrazení: