Definice zobrazení

Vezměme si binární relaci probíranou v příkladu:

Její výstižné pojmenování by bylo "Adresář", protože pro každého studenta udává jeho bydliště v ČR (pokud toto bydliště existuje). Tato relace má dvě pozoruhodnosti:

  • Jan, Josef a Anička mají stejné bydliště v ČR - to se v "Adresáři" může stát.
  • Řehoř má v ČR bydliště dvě - to by se ale v "Adresáři" stávat nemělo, protože pak jednoznačně nevíme, kde Řehoře hledat či kam mu přeposílat poštu.

Spíše by se nám tedy hodilo, aby Řehoř určil svoji adresu jednoznačně, například takto:

Tato a podobné binární relace jsou užitečné, proto si je zavádíme jako nový pojem:

Zobrazením nebo také jednoznačnou binární relací nazveme takovou binární relaci A na množinách A1 a A2, ve které každý prvek z množiny A1 má přiřazen nejvýše jeden prvek z množiny A2.

K pojmu zobrazení si zavedeme ještě několik dalších:

  • Množina prvků x z A1, které vystupují v zobrazení A, se nazývá definiční obor A. Značí se DAPrvky z DA se nazývají vzory.
  • Definičním oborem v příkladu je
            {Karel; Eva; Jan; Josef; Řehoř; Anička},
     tedy
    A1 mimo prvků Karl a Ahmed.

  • Množina prvků y z A2, které vystupují v zobrazení A, se nazývá obor hodnot A. Značí se HAPrvky z HA se nazývají obrazy.
  • Oborem hodnot v příkladu je
            {Brno; Kralupy; Jihlava; Strakonice},
    tedy A2 mimo prvků Turnov a Liberec.
  • Je-li stanovena proměnná x, která nabývá hodnot z DA zobrazení A, nazýváme ji nezávisle proměnnou zobrazení A.
  • Nazýváme ji tak proto, je zadávána nezávisle.
  • Je-li stanovena proměnná y, která nabývá hodnot z HA zobrazení A, nazýváme ji závisle proměnnou zobrazení A.
  • Nazýváme ji tak proto, že její hodnoty závisí na hodnotách x prostřednictvím zobrazení A.
  • Množinový zápis zobrazení z příkladu je
    A = { [x, y] ∈ A1 × A2 | [Karel; Kralupy]; [Eva; Jihlava];
              [Jan; Brno]; [Josef; Brno]; [Řehoř; Strakonice]; [Anička; Brno]
    }
    .
  • Jednotlivé hodnoty tohoto zobrazení zapisujeme formou A(x) = y, např. A(Řehoř) = Strakonice.
Poznámky
  • Zobrazení není symetrické podle proměnných, což ukazují i jejich odlišné názvy. Dá se říci, že zobrazení je prostředek, který prostřednictvím nezávisle proměnné informuje o závisle proměnné, čili je to nástroj ke studiu závislosti druhé proměnné na první.
  • Panuje rovněž nesymetrie v přístupu k definičnímu oboru a oboru hodnot:
    • Definiční obor je bedlivě sledovanou množinou, protože přesně určuje, které prvky funkce zpracovává.
    • Obor hodnot je bedlivě sledován jen pokud jej potřebujeme přesně určit. Jinak se o něj příliš nestaráme a často za něj označíme nějakou až zbytečně velkou množinu, v našem příkladu to jsou všechna města České republiky.
      Jsou pro to dobré důvody:
      • Při práci se často mění podmínky úlohy a tyto změny mívají na obor hodnot vliv. Proto jej raději stanovíme větší než nutno.
      • Stanovit obor hodnot je někdy pracné a pokud nás nezajímá, zbytečně bychom se namáhali. 
  • Pojmenování proměnných v zobrazení se nijak nevztahuje k fyzikálním veličinám. Například proměnná "čas", může mít v různých zobrazeních roli jak nezávislé, tak i závislé proměnné a přitom se vůbec nehledí na to, že "čas plyne nezávisle na všem ostatním".



Někdy se setkáváme se zobrazeními, která mají několik nezávisle proměnných, o čemž definice zobrazení nemluví. Není to však nepřekonatelný problém, protože:
  • Můžeme vzít definiční obory nezávisle proměnných a udělat z nich kartézský součin.
  • Dále stačí nadefinovat nové zobrazení s jedinou nezávisle proměnou:
    • touto proměnnou budou uspořádané n-tice z vyrobeného kartézského součinu, ten bude definičním oborem.
    • funkční hodnoty budou vyhodnocovány tak, že složky n-tic budou dosazovány za proměnné v odpovídajícím pořadí.
Tak dokážeme nahradit zobrazení s několika nezávisle proměnnými zobrazením s jedinou nezávisle proměnnou.