Binární relace


Definice

Jsou-li zadány dvě množiny, A1 a A2 libovolnou podmnožinu jejich kartézského součinu nazveme binární relací

Sám kartézský součin dvou množin je taktéž binární relací.

To, že dva prvky x a y nějakých množin jsou v relaci A, zapíšeme (x A y).

Příklad

Máme zadány dvě množiny:

Studenti A1 = {Karel; Eva; Jan; Josef; Karl; Ahmed; Řehoř; Anička}
Bydliště v ČR A2 = {Turnov; Brno; Kralupy; Jihlava; Strakonice; Liberec}

Přiřaďme k sobě:

  • Karel a Kralupy
  • Eva a Jihlava
  • Jan a Brno
  • Josef a Brno
  • Řehoř a Jihlava
  • Řehoř a Strakonice
  • Anička a Brno
Tuto relaci můžeme zapsat ve tvaru nové množiny:
    A = { [ Karel; Kralupy ]; [ Eva; Jihlava ]; [ Jan; Brno ]; [ Josef; Brno ];
           [ Řehoř; Jihlava ]; [ Řehoř; Strakonice ]; [ Anička; Brno ] }
To, že dva prvky x a y nějakých množin jsou v relaci A, zapíšeme (x A y).


Binární relaci z příkladu nahoře si můžeme znázornit i jako Vennův diagram:
Takové znázornění je přehlednější a v relaci také snadněji najdeme její pozoruhodnosti:
    1. Karl a Ahmed nemají uvedeno bydliště (patrně nebydlí v ČR).
    2. Turnov a Liberec neubytovávají nikoho ze studentů z množiny A1.
    3. Brno a Jihlava ubytovávají více než jednoho studenta,
    4. Řehoř má dvě bydliště.


Inverzní relace

Máme-li dánu relaci A na množinách A1 a A2,
inverzní relací k A nazveme relaci A-1 na množinách A2 a A1,
která vnikne z A přehozením položek v jejích prvcích.

Toto přehození lze vždy udělat, proto inverzní relace vždy existuje.

Příklad

Je-li zadána binární relace 
   A = { [ Karel; Kralupy ]; [ Eva; Jihlava ]; [ Jan; Brno ]; [ Josef; Brno ];
             [ Řehoř; Jihlava ]; [ Řehoř; Strakonice ]; [ Anička; Brno ] },
k ní inverzní relací bude 
   A-1 = { [ Kralupy; Karel]; [ Jihlava; Eva]; [ Brno; Jan ]; [Brno; Josef ];
               [ Jihlava; Řehoř ]; [ Strakonice; Řehoř ]; [Brno; Anička ] }.


Zadávání binární relace

Binární relaci můžeme zadávat různými způsoby:

  • Výčtem dvojic přiřazených prvků - tak je zadán výše uvedený příklad.
  • Vzorcem - tak lze zadat binární relaci, v níž vystupující množiny jsou množiny čísel nebo jejich n-tic.
Abychom získali inverzní relaci také zadávanou vzorcem, musíme:
  • buď prohodit množiny vystupující v binární relaci,
  • nebo upravit vzorec tak, aby výpočet podával položky inverzní binární relace.

Příklad

  • První množina vystupující v binární relaci jsou reálná čísla.
  • Druhá množina vystupující v binární relaci jsou reálná čísla větší než -1,5.
  • Binární relace je zadána vzorcem y = x3, kde x je z první množiny a y je z druhé množiny.
              { X = [x; y]; x ∈
    ; y ∈ & y > -1,5 | y = x3 }
  • Protože množina reálných čísel je nekonečná, výsledná binární relace obsahuje nekonečný počet dvojic, mezi nimi např.:
  •          [1; 1], [2; 8], [3,3; 35,937], [0; 0], [-1; -1], [-1,25; -1.953125], ... 
Poznámky
  • Pro výpočet dvojic této binární relace bychom též mohli používat vzorec x = 3√y, který vznikne úpravou vzorce y = x3.
  • Později, v analytické geometrii se naučíme binární relace zobrazovat. Potom relaci z příkladu přiřadíme obrázek