Mocninné funkce


Definice

Mocninné funkce jsou funkce s předpisem

M = { [x; y] ℝ x , a ∈ , r ∈ | y = a * xr },

kde:
  • x je nezávisle proměnná,
  • y je závisle proměnná,
  • a je parametr zvaný koeficient mocninné funkce,
  • r je parametr zvaný exponent mocninné funkce.
Definiční obor jednotlivých funkcí závisí na parametrech a a r. V závislosti od těchto parametrů mají některé z nich zvláštní jména. Vše si probereme v následujících odstavcích.

Následující grafy zobrazují rozličné funkce y = a * xr pro a = 1 a r = 1, ... 5.  





Konstantní funkce
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Funkční předpis: y = a * x0 čili y = a.
  • Popis: 
    • Ve funkčním předpisu se vůbec nevyskytuje x, což nevadí, protože i  takto definovaná funkce vyhovuje požadavkům na zobrazení, jedná se o množinu 
          M = { [x; y], x , y , a | y = a }, která obsahuje např.:
          [-5; a], [-0,5; a], [0; a], [0,05; a], [5; a].
      Funkční předpis této funkce pochází z předpisu y = a * x0, který lze zapsat y = a * 1, s jednou ovšem vadou na kráse, a sice že pro x = 0 máme y = a * 00 a to není definováno.
      Matematici věc vyřešili tak, že funkci dodefinovali y = a * 00 = a a proto pro všechna x je y = a.
    • Konstantní funkce patří k nejjednodušším. V praxi se používají zřídka, zato v matematické teorii často.
    • Zvláštní pojmenování má funkce y = 0, nazývá se nulovou funkcí.
Příklad

y = 2.5




Funkce přímé úměrnosti
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Funkční předpis: y = a * x.
  • Popis:
    • Jejím grafem je přímka procházející počátkem
    • a je tzv. konstanta úměrnosti. Platí:
      • a > 0 ⇒ funkce je rostoucí,
      • a = 0 ⇒ funkce je konstantní,
      • a < 0 ⇒ funkce je klesající.
  • Přímá úměrnost je patrně nejčastěji používaná funkce.
  • S její pomocí se řeší úlohy přímé úměrnosti.

Příklad


y = 2 * x
Graf funkce y = a * x pro a = 2.


Lineární funkce
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Funkční předpis: y = a * x + b.
  • Popis:
    • Jejím grafem je přímka, která však neprochází počátkem souřadnic, protože tam je y = b.
    • Je dobře známá z fyziky a analytické geometrie, tam však mívá podobu y = k * x + q a její parametry svá ustálená jména:
      • k je tzv. směrnice přímky.
      • q je tzv. absolutní člen. Ten udává posun grafu funkce na ose y.
    • Tato funkce je rozšířením funkce přímé úměrnosti o parametr b.
Příklad

y = 2 * x - 3
Graf funkce y = k * x + q pro k = 2 a q = -3.
Všimněme si, že q můžeme přímo odečíst jako úsek vymezený na ose y
protože tam je x = 0 a vzorec výpočtu má tvar y = k * 0 + q, čili y = q.


Lineární funkce pro různé směrnice

Na obrázku jsou zobrazeny grafy funkce y = k * x - 3 pro různá k.





Animace lineární funkce
Pro funkci ve tvaru  y = k * x + q nastavte parametry:

k = 

q = 


 

Sorry, your browser does not support canvas. 

 


Lineární interpolace

Lineární interpolací rozumíme proložení přímky dvěma body [x1, y1] a [x2, y2], neboli nalezení takové lineární funkce, pro kterou současně platí
       y1 = k * x1 + q a
       y2 = k * x2 + q
Nebudeme se snažit pracovat případy, kde je x1 = x2, tedy s kolmicí na osu x, která je jako funkce nepřípustná:

Úlohu vyřešíme výpočtem (jako soustavu dvou rovnic):

Výpočet k:

      y1 - k * x1 = q                   // spočteme z obou rovnic q
      y2 - k * x2 = q
      y1 - k * x1 = y2 - k * x2    // jelikož se rovnají pravé strany, rovnají se i levé
      k * x2 - k * x1 = y2 - y1    // přesuneme y1 vpravo a  - k * x2 vlevo
      k * (x2 - x1) = y2 - y1        // vytkneme k
k = (y2 - y1 ) / (x2 - x1)     // podělíme (x2 - x1), což můžeme, jelikož je x1 ≠ x2

Výpočet q:

Provedeme jej dosazením třeba do q = y1 - k * x1

Příklad

Máme zadány body [1,6; 1,4] a [3,2; 4] - body jsou vzaty z obrázku nahoře.

Výpočet k: k = (y2 - y1 ) / (x2 - x1) = (4 - 1,4) / (3,2 - 1,6) = 2,6 / 1,6 = 1,625
Výpočet q: q = y1 - k * x1 = 1,4 - 1.625 * 1,6 = -1,2

Řešením je tedy funkce s předpisem y = 1,625 * x  - 1,2


Kvadratická funkce
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Funkční předpis: y = a * x2.
  • Popis:
    • Říká se jí též funkce druhého stupně
    • Jejím grafem je parabola
Příklady
y = x2

y = -1 * x2



Kvadratický polynom

Jeho obecný tvar je a * x2 + b * x + c s tím, že a ≠ 0 (jinak by to byl polynom lineární).

Příklad

Nakreslete graf funkce y = 0.5 * x2 + x - 4 !


Animace kvadratického polynomu funkce je součástí animace kvadratické rovnice.


Odmocniny Příklady
    y = 2√x čili y = x1/2.


   y = 3√x čili y = x1/3.

 y = 4√x čili y = x1/4.




Funkce lomené

Funkce lomená lineární
  • Je to důležitá, často používaná funkce.
  • Funkční předpis: y = a / x čili y = a * x-1.
  • Definiční obor je pouze ( -∞, 0) ∪ (0, ∞), jelikož pro x = 0 funkci vyčíslit nelze.
  • Tato funkce se rovněž nazývá funkcí nepřímé úměrnosti.
  • S její pomocí se řeší úlohy nepřímé úměrnosti.
  • y = 1 / x je inverzní sama k sobě (stejně jako y = x).
  • Grafem této funkce je hyperbola:


Funkce lomená kvadratická
  • Funkční předpis: y = a / x2 čili y = a * x-2.
  • Definiční obor je pouze ( -∞, 0) ∪ (0, ∞), jelikož pro x = 0 funkci vyčíslit nelze.