Goniometrické funkce

V goniometrii jsme tyto funkce používali při řešení úloh. V matematické analýze se jimi budeme zabývat jako funkcemi, tj. budeme vyšetřovat jejich vlastnosti.
 


Goniometrické funkce obecně

Goniometrické funkce jsou definovány poměry stran v pravoúhlých trojúhelnících. Průběh některých z nich ukazuje animace.

Všechny goniometrické funkce jsou periodické s periodou 2 * π, protože:

  • na každou otáčku bodu B vlevo se úhel α zvětší o 2 * π,
  • na každou otáčku bodu B vpravo se úhel α zmenší o 2 * π,
  • podle počtu otáček, které bod B vykoná a podle jeho polohy, úhel α nabývá libovolné hodnoty.

Funkce inverzní ke goniometrickým se nazývají funkce cyklometrické. Slovo cyklometrický pochází z řeckého κυκλό (kyklo) = kruh a μετρο (metro) = měřit.


Funkce sinus
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Obor hodnot: <-1, 1>.
  • Funkční předpis: y = sin(x).
  • Popis: 
    • Funkce je periodická s periodou 2 * π
    • Inverzní funkcí je arcsin(x).


Animace funkce sinus
Pro funkci ve tvaru f(x) = a * sin(b * x + c) + d nastavte parametry:

a =  - tzv. amplituda

b =  - tzv. frekvence

    c =  - tzv. fázový posun

               d =  - tzv. stejnosměrný posun

Sorry, your browser does not support canvas. 

 
 


Funkce arkus sinus

Funkce kosinus
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Obor hodnot: <-1, 1>.
  • Funkční předpis: y = cos(x).
  • Popis: 
    • Funkce je periodická s periodou 2 * π
    • Platí cos(x) = sin(x + π / 2), neboli graf funkce cos(x) je posunut vůči grafu funkce sin(x) o 90° dozadu.
    • Inverzní funkcí je arccos(x).

Pro porovnání jsou na obrázku zobrazeny vedle sebe cos(x) i sin(x)


Funkce arkus kosinus
  • Inverzní funkce ke cos(x).
  • Z důvodu nejednoznačnosti omezíme cos(x) na interval <0, π>.
  • Definiční obor: <-1, 1>.
  • Obor hodnot: <0, π>.
  • Funkční předpis: y = arccos(x).
  • Popis:
    • Platí arccos(x) = -arcsin(x) + π / 2.

Pro porovnání jsou na obrázku zobrazeny vedle sebe arccos(x) i arcsin(x).



Funkce tangens
  • Definiční obor: (-∞,  ∞) s výjimkou bodů { π / 2, 3*π / 2, 5*π / 2, ... }
  • Obor hodnot: (-∞,  ∞)
  • Funkční předpis: y = tg(x).
  • Popis: 
    • Funkce je periodická s periodou π
    • Inverzní funkcí je arctg().


Funkce arkus tangens
  • Inverzní funkce k tg(x) omezené na interval <-π / 2,  π / 2>
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Obor hodnot: (-π / 2,  π / 2)
  • Funkční předpis: y = arctg(x).

Funkce kotangens
  • Definiční obor: (-∞,  ∞) s výjimkou bodů { 0, π, 2*π, 3*π, ... }
  • Obor hodnot: (-∞,  ∞)
  • Funkční předpis: y = cotg(x).
  • Popis: 
    • Funkce je periodická s periodou π
    • Platí cotg(x) = 1 / tg(x), s tím, že ve shodě s definicí:
      • v bodech { 0, π, 2*π, 3*π, ... } není podíl definován,
      • body { π / 2, 3*π / 2, 5*π / 2, ... } mají hodnoty cotg(x) = 0.
    • Inverzní funkcí je arccotg().

Pro porovnání jsou na obrázku zobrazeny vedle sebe cotg(x) i tg(x).


Funkce arkus cotangens
  • Inverzní funkce k cotg(x) omezené na interval <0,  π>
  • Definiční obor: (-∞,  ∞).
  • Obor hodnot: (0,  π)
  • Funkční předpis: y = arccotg(x).
  • Popis: 
    • Platí arccotg(x) = -arctg(x) + π / 2.

Pro porovnání jsou na obrázku zobrazeny vedle sebe arccotg(x) i arctg(x).


Funkce sekans
  • Definiční obor: (-∞,  ∞) s výjimkou bodů { π / 2, 3*π / 2, 5*π / 2, ... }
  • Obor hodnot: (-∞, -1> ∪ <1, ∞)
  • Funkční předpis: y = sec(x).
  • Popis: 
    • Funkce je periodická s periodou 2 * π
    • Inverzní funkcí je arcsec().


Funkce arkus sekans
  • Inverzní funkce k sec(x) omezené na interval <-π / 2,  π / 2>
  • Definiční obor: (-∞, -1> ∪ <1, ∞).
  • Obor hodnot: <0, π / 2) ∪ (π / 2, π>
  • Funkční předpis: y = arcsec(x).

Funkce kosekans
  • Definiční obor: (-∞,  ∞) s výjimkou bodů { 0, π, 2*π, 3*π, ... }
  • Obor hodnot: (-∞, -1> ∪ <1, ∞)
  • Funkční předpis: y = cosec(x).
  • Popis: 
    • Funkce je periodická s periodou 2 * π
    • Inverzní funkcí je arccosec().

Pro porovnání jsou na obrázku zobrazeny vedle sebe cosec(x) i sec(x).


Funkce arkus kosekans
  • Inverzní funkce k cosec(x) omezené na interval <-π / 2,  π / 2>
  • Definiční obor: (-∞, -1> ∪ <1, ∞).
  • Obor hodnot: <-π / 2, 0) ∪ (0, π / 2>
  • Funkční předpis: y = arccosec(x).

Pro porovnání jsou na obrázku zobrazeny vedle sebe arccosec(x) i arcsec(x).



Vztah funkcí x, sin(x) a tg(x)

Z průběhu funkcí y = x, y = sin(x) a y = tg(x) je vidět, že:

  • Všechny mají pro x = 0 hodnotu 0.
  • Na intervalu <0, π / 2) jsou všechny rostoucí.
Mimo to platí, že na intervalu (0, π / 2) je sin(x) < x < tg(x).

Důkaz

  • Nakreslíme si obrázek a vyznačíme v něm sin(x), x a tg(x) pomocí délek:

  • Odvodíme si několik ploch:
    • Plocha trojúhelníka 
    •     OAC = (1/2)(základna)(výška) = (1/2)(1)(sin(x)) = (1/2)(sin(x))
    • Plocha kruhové výseče 
    •     OAC = (1/2)(x)(poloměr)2 = (1/2)(x)(1)2 = (1/2)x
    • Plocha trojúhelníka 
    •     OAB = (1/2)(základna)(výška) = (1/2)(1)(tg(x)) = (1/2)(tg(x))
  • Podle obrázku je
  • plocha trojúhelníka OAC < plocha výseče OAC < plocha trojúhelníka OAB.
    Tedy po dosazení je
                                 
    (1/2)(sin(x))        <       (1/2)(x)         <            (1/2)(tg(x))
    neboli
                                      
    sin(x)              <             x             <                 tg(x).