Odvození čísla e
aneb
Maximalizace výnosu vkladu v ideální bance

Jednotkový růst exponenciální funkce si můžeme připodobnit k růstu peněžní částky uložené v bance s úrokem 100 %, tedy takovým, že za každý rok se částka zdvojnásobí.

Budeme přitom zkoumat ideální banku, tedy banku s následujícími vlastnostmi:

  • Při výpočtu úroku za určité období se používá lineární funkce s konstantou úměrnosti rovnou 1.
  • Banka pracuje nepřetržitě, tj. nepřetržitě přijímá vklady a vyplácí výběry.
  • Při každém výběru banka vyplatí i odpovídající úrok, např.:
    • za uložení peněz na 1 den vám připíše úrok (100 / 365) %.
    • za uložení peněz na 7 dnů vám připíše úrok (7 * 100 / 365) %.
    • za uložení peněz na 1/3 dne vám připíše úrok (1/3 * 100 / 365) %.
  • Pokud se peníze do banky vkládají a vybírají opakovaně, částka se zvyšuje složeným úrokováním, čili součinem úroků za jednotlivá období.
    Například při počátečním vkladu
    1 Kč dostáváme:
Rok je
rozdělen
na n dílů

Celková částka po roce spoření
1 1 * (1 + 1/1)1 = (1 + 1/1)1 = 21 = 2 Kč
2 1 * (1 + 1/2)2 = (1 + 1/2)2 = 1,5 * 1,5 = 2,25
3 1 * (1 + 1/3)3 = (1 + 1/3)3 = 1,3 * 1,3 * 1,3 2,369
4 1 * (1 + 1/4)4 = (1 + 1/4)4 = 1,25 * 1,25 * 1,25 * 1,25 2,441
...
...
n 1 * (1 + 1/n)n = (1 + 1/n)n = x

Vidíme, že posloupnost celkových částek je rostoucí, ale nevíme, jestli roste nad všechny meze nebo konverguje k nějakému určitému číslu. 

Odpověď matematici našli kolem roku 1618:

lim (1 + 1/n)n
n → ∞
≈  2,718...

Celkem tedy můžeme za rok získat až 2,718... násobek původního vkladu.

Číslo 2,718... je námi hledané číslo e.

Poznámky