Limita funkce

Úvod

V teorii množin jsme probírali limitu v zobrazení, zde budeme zkoumat limitu funkcí.

Jak jsme již popsali, jejím účelem je zjistit, zda v okolí určeného bodu funkční hodnoty konvergují k nějaké hodnotě. 

Různé případy jsou zakresleny na obrázku a popsány pod ním:



  • Pro x < x1 blížící se k -∞ se funkční hodnoty f(x) blíží k 0.
  • V bodě x1:
    • pro x < x1 blížící se k x1 se funkční hodnoty f(x) blíží k .
    • pro x > x1 blížící se k x1 se funkční hodnoty f(x) blíží k -∞.
  • V okolí bodu x2 se funkční hodnoty f(x) blíží hodnotě f(x2), proto tam graf funkce má podobu souvislé čáry.
    To platí pro všechny
    body uvnitř intervalů
    (-∞, x1), (x1, x3), (x3, x4) a (x4, x5).
  • V bodě x3:
    • pro x < x3 se funkční hodnoty f(x) blíží k y3A,
    • pro x > x3 se funkční hodnoty f(x) blíží k y3B.
  • V bodě x4 se funkční hodnoty f(x) blíží k určité hodnotě, není to však y4, protože to leží mimo křivku.
  • V bodě x5 se funkční hodnoty f(x) blíží k y5 pouze zleva, protože zprava nejsou definované.
  • V bodě x6 se funkční hodnoty f(x) blíží k y6 pouze zprava, protože zleva nejsou definované.
  • V bodech x > x6 funkční hodnoty k ničemu nekonvergují, graf tam nemá podobu spojité čáry.
  • V bodě x7 se funkční hodnoty f(x) blíží k y7 pouze zprava.
  • Pro x > x7 blížící se k se hodnoty f(x) také blíží k .


Definice limity funkce

Podle výzkumu nahoře můžeme definovat několik typů limit funkce, v závislosti na tom:



Vlastní limity ve vlastním bodě

Jedná se o limity s konečnými hodnotami obou proměnných:

  • Jsou-li dány:
  • Potom řekneme, že f(x) má v x0
    • limitu zleva L, jestliže:
      • pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové,
      • že pro každé x ∈ M & x < x0 & 0 < |x0 - x| < δ 
      • platí |f(x) - L| < ε.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0-
    • limitu zprava L, jestliže:
      • pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové,
      • že pro každé x ∈ M & x > x0 & 0 < |x0 - x| < δ 
      • platí |f(x) - L| < ε.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0+
    • limitu L, jestliže:
      • má v bodě x0 limitu zleva i zprava a obě limity jsou rovny L.
      • Tato limita se někdy též nazývá oboustranná limita.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0
Příklady



Nevlastní limity ve vlastním bodě

Jedná se o limity s konečnými hodnotami nezávisle proměnné a nevlastními hodnotami závisle proměnné:

  • Jsou-li dány:
  • Potom řekneme, že f(x) má v x0
    • nevlastní limitu zleva L, jestliže:
      • L je rovno nebo -,
      • pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové,
      • že pro každé x ∈ M & x < x0 & 0 < |x0 - x| < δ platí:
        • je-li L rovno , potom f(x) > ε,
          je-li L rovno -∞, potom f(x) < ε.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0-
    • nevlastní limitu zprava L, jestliže:
      • L je rovno nebo -,
      • pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové,
      • že pro každé x ∈ M & x > x0 & 0 < |x0 - x| < δ platí:
        • je-li L rovno , potom f(x) > ε,
          je-li L rovno -∞, potom f(x) < ε.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0+
    • nevlastní limitu L, jestliže:
      • má v bodě x0 nevlastní limitu zleva i zprava a obě limity jsou rovny L.
      • Tato limita se někdy nazývá oboustranná nevlastní limita.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0
Příklady



Vlastní limity v nevlastním bodě

Jedná se o limity s nevlastními hodnotami nezávisle proměnné a konečnými hodnotami závisle proměnné:

  • Jsou-li dány:
  • Potom řekneme, že f(x) má v x0
    • limitu L, jestliže:
      • pro každé kladné číslo ε existuje číslo δ takové, že
        • je-li x0 je rovno , potom pro každé x ∈ M & x > δ
          platí |f(x) - L| < ε,
        • je-li x0 je rovno -∞, potom pro každé x ∈ M & x < δ
          platí |f(x) - L| < ε.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0
Příklad


Nevlastní limity v nevlastním bodě

Jedná se o limity s nevlastními hodnotami obou proměnných:

  • Jsou-li dány:
  • Potom řekneme, že f(x) má v x0
    • nevlastní limitu L, jestliže nastane některý ze čtyř případů:
      • 1) L je rovno a x0 je rovno
        • a pro každé číslo ε existuje číslo δ takové,
        • že pro každé x ∈ M & x > δ je f(x) > ε.
      • 1) L je rovno a x0 je rovno -∞
        • a pro každé číslo ε existuje číslo δ takové,
        • že pro každé x ∈ M & x < δ je f(x) > ε.
      • 1) L je rovno -∞ a x0 je rovno
        • a pro každé číslo ε existuje číslo δ takové,
        • že pro každé x ∈ M & x > δ je f(x) < ε.
      • 1) L je rovno -∞ a x0 je rovno -∞
        • a pro každé číslo ε existuje číslo δ takové,
        • že pro každé x ∈ M & x < δ je f(x) < ε.
      • Zapisujeme:
      • lim f(x) = L
        x→x0
Příklad
 


Poznámky

  • Je třeba zdůraznit, že při práci s limitou funkce se hodnotou v bodě x0 nezabýváme, proto ani nemusí být definována. S touto hodnotou budeme pracovat až při vyšetřování další vlastnosti funkcí.
  • Rovněž je důležité, že pro určité δ musí být x definováno v celém intervalu (x; x0) případně (x0; x).
  • Definice limity s pomocí dvojice εδ bývala noční můrou studentů, nebyla totiž snadná ani pro matematiky.


Příklad
  • Podle grafu funkce na obrázku existují:
  • Neexistuje
    • , protože pravá i levá limita sice existují, ale nejsou si rovny - graf funkce je v bodě x12 přerušen. Proto, pokud bychom za limitu považovali libovolné L:
      • pro libovolné zadané kladné ε < y1 - y2,
      • nelze najít δ takové, 
      • aby pro každé x vyhovující |x12 - x| < δ bylo |L - f(x)| < ε.



Pokud limita funkce v bodě (limita zleva, limita zprava) existuje a je konečná, říkáme, že funkce v bodě konverguje (konverguje zleva, konverguje zprava).
Pokud limita funkce v bodě (limita zleva, limita zprava) existuje a je nekonečná, říkáme, že funkce v bode diverguje (diverguje zleva, diverguje zprava).


Příklad

Funkce y = 1 / x má:

  • definiční obor (-∞, 0) ∪ (0, ∞) neboli reálná čísla mimo 0,
  • obor hodnot jsou rovněž reálná čísla mimo 0.
Na jejím grafu je vyznačeno pět limit:
     
  • Tak, jak se přibližuje x k , y směřuje k 0.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k rovná se 0
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k konverguje k 0.
  • Tak, jak se přibližuje x k -∞, y směřuje k 0.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k -∞ rovná se 0
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k - konverguje k 0.
  • Tak, jak se přibližuje x k 0 zprava, y je stále větší a směřuje k .
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k 0 zprava rovná se
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k 0 zprava je divergentní.
  • Tak, jak se přibližuje x k 0 zleva, y je stále menší a směřuje k -∞.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k 0 zleva rovná se -∞
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k 0 zleva je divergentní.
  • Tak, jak se přibližuje x k 3 (z libovolné strany), y směřuje k 1/3.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k 3 rovná se 1/3
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující ke 3 konverguje k 1/3.


Příklad

Funkce signum(x)

  • nemá limitu v bodě 0,
  • má limitu zleva v bodě 0 rovnou -1
  • má limitu zprava v bodě 0 rovnou 1
  • má limitu pro všechna x > 0 rovnou 1
  • má limitu pro všechna x < 0 rovnou -1




Příklad

Dirichletova funkce nemá limitu v žádném bodě.
 



Příklad

Dirichletova funkce 1 má limitu v bodě 0 a v žádném dalším.
 



Příklad

Funkce s jediným hromadným bodem má pouze limitu zprava v bodě 0 a v žádném dalším.
 


Věta
  • Jsou-li nějaké dvě funkce definované na stejné množině
  • a mají-li obě tyto funkce limitu v nějakém bodě,
  • má v tomto bodě limitu také součet těchto funkcí 
  • a tato limita je rovna součtu limit obou funkcí.

Důkaz

Provedeme jej podle definice limity:

  • je-li dáno nějaké kladné číslo ε,
  • rozdělíme ho na dvě poloviny,
  • k první najdeme číslo δ pro první funkci, ke druhé najdeme číslo δ pro druhou funkci, 
  • menší z obou δ bude delta pro součet funkcí, 
  • přesvědčíme se tak, že pro toto δ mají obě funkce hodnoty v ε/2-okolí, tedy součtová funkce má hodnoty v ε-okolí.


Podobné věty platí i pro rozdíl a součin funkcí.