Derivace vyšších řádů

 

Popis

Jak jsme viděli, derivace funkce f(x) na nějakém intervalu je opět funkcí. Může tedy sama mít derivaci.

Tato derivace se nazývá druhou derivací funkce f(x) a označuje se f ''(x).

Analogicky lze postupovat dále, tedy z f ''(x) můžeme vyrobit třetí derivaci f(x) atd. Vyšší derivace pak označujeme exponentem v závorce, např. sedmou derivaci označíme f (7)(x).

Je třeba mít jasno v tom, že při získávání n-té derivace funkce se zabýváme pouze (n-1)-ní derivací funkce. Vůbec se nezabýváme funkcí původní, ani derivacemi předcházejícími před derivací (n-1)-ní.

Sama funkce f(x) se někdy označuje jako nultá derivace
Zapsat ji můžeme jako f (0)(x).
 


Příklad

Určete všechny derivace funkce y = 0,2 * x3 - x2.

Řešení

  • y' = 0,6 * x2 - 2 * x
  • y'' = 1,2 * x
  • y''' = 1,2
  • y'''' = 0
  • y(5) = 0
  • ...
Jak víme, při derivování mocniny se snižuje její stupeň, takže po určitém počtu kroků jsou všechny derivace rovné funkci f(x) = 0.

Situaci zachycuje obrázek. Na něm je zeleně vyznačena původní funkce a dalšími barvami její derivace až do y'''':



Příklad

Určete všechny derivace funkce y = sin(x).

Řešení

  • y' = cos(x)
  • y'' = -sin(x)
  • y''' = -cos(x)
  • y'''' = sin(x)
  • ...
Jak vidíme, y'''' = y, čili dále se funkce budou cyklicky opakovat.
 


Oskulační kružnice

Z předchozího výkladu víme, že první derivace připodobňuje funkci k přímce g(x), která:

  • prochází bodem výpočtu [x0; f(x0)], je tedy g(x0) = f(x0),
  • její směrnice (čili její první derivace g'(x)) je rovna f '(x0).

Druhá derivace má podobnou vlastnost: připodobňuje funkci ke kružnici h(x), o které jsme mluvili v geometrii a nazvali ji tam kružnicí oskulační. Tato kružnice :

  • prochází bodem výpočtu [x0; f(x0)], je tedy h(x0) = f(x0),
  • má s f(x) v tomto bodě společnou tečnou grafu, čili je h'(x0) = f '(x0).
  • má s f(x) v tomto bodě společnou křivost grafu, čili je h''(x0) = f ''(x0)..

Příklad

Nakreslíme si oskulační kružnici pro funkci f(x) = 1/20 * x4 + x3 - 13 * x2 - x v různých bodech.

Řešení

  • První derivace funkce je rovna f '(x) = 1/5 * x3 + 3 * x2 - 26 * x - 1,
  • Druhá derivace funkce je rovna f ''(x) = 3/5 * x2 + 6 * x - 26.

Bod výpočtu volíme tahovým ovladačem:

Křivost funkce pro x = : k =


Sorry, your browser does not support canvas. 

Zdroj