Výpočty derivace

Výpočty derivace jsou víceméně mechanická činnost, při které se uplatňují:

  • Vzorce pro derivace funkcí.
  • Vzorce pro derivování výrazů s funkcemi:
    • derivace funkce násobené konstantou c:
      • (c * f(x))' = c * f '(x)
    • derivace součtu funkcí:
      • (f(x) + g(x))' = f '(x) + g '(x)
    • derivace součinu funkcí:
      • (f(x) * g(x))' = f '(x) * g(x) + f(x) * g '(x)
    • derivace podílu funkcí:
      • (f(x) / g(x))' = (f '(x) * g(x) - f(x) * g '(x)) / (g(x) * g(x))
    • derivace složené funkce:
      • (f(g(x)))' = f '(g(x)) * g '(x)
Poznámka

Pokud lze nějakou funkci derivovat více způsoby, lze bez obav použít kterýkoli z nich, při správném provedení dají všechny stejný výsledek. Například f(x) = sin(x)2 lze derivovat dvěma způsoby:

  • jako součin f(x) = sin(x) * sin(x):
    • f '(x) = cos(x) * sin(x) + sin(x) * cos(x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
  • jako složenou funkci f(x) = g(x)2, g(x) = sin(x):
    • f '(x) = 2 * sin(x) * cos(x)
Povedlo se.


Příklad

Zderivujte racionální funkci (1 - x3) / x2.

Řešení

  • ((1 - x3) / x2)' =                                   // zadaná úloha
  • ((1 - x3)' * x2 - (1 - x3) * (x2)') / x4 = // použijeme vzorec pro derivaci podílu
  • ( -3 * x2 * x2 - (1 - x3) * 2 * x) / x4 // zderivujeme elementární funkce
  • ( -3 * x4 - 2 * x - 2 * x4) / x4 =           // upravíme
  • ( -x4 - 2 * x) / x4 =                              // upravíme
  • ( -x3 - 2) / x3                                       // toto je výsledek