Definice derivace
 
 
Úvod

Účel derivace jsem si již popsali. Tento účel je poněkud podobný účelu úlohy lineární interpolace:

  • Pro danou funkci f(x) a zadané body x1 a x2
  • jsme vypočítali směrnici přímky podle vzorce:
                                            k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1).

Při zjišťování derivace:

  • Máme zadánu funkci f(x) a hodnotu x0 z jejího definičního oboru.
  • Chceme zjistit směrnici přímky, která v x0 nejlépe vystihuje průběh f(x).
  • Abychom tuto směrnici zjistili, budeme lineárně interpolovat f(x) v hodnotách x z nějakého prstencového okolí x0.
  • Výše uvedený vzorec pak dostane tvar
    k = (f(x) - f(x0)) / (x - x0).
Ukážeme si to na příkladu funkce f(x) = x3:

Zvolte hodnotu x0 výpočtu derivace:

Měňte hodnotu x k ní konvergující:

Zvolený bod výpočtu derivace: [x0, f(x0)] = ,
poloha bodu [x, f(x)] = ,
směrnice přímky proložené těmito body k = (f(x) - f(x0)) / (x - x0) =

Sorry, your browser does not support canvas. 


Definice

Stejně jako u limity a spojitosti budeme rozlišovat tři typy derivace: 
  • Je-li funkce f(x) spojitá zleva v bodě x0 a existuje limita
  • lim (f(x0) - f(x)) / (x0 - x) = k,
    x→x0-

    nazveme k derivací funkce f(x) v bodě x0 zleva a označíme je f -'(x0).

  • Je-li funkce f(x) spojitá zprava v bodě x0 a existuje limita
  • lim (f(x0) - f(x)) / (x0 - x) = k,
    x→x0+

    nazveme k derivací funkce f(x) v bodě x0 zprava a označíme je f +'(x0).

  • Je-li funkce f(x):
    • spojitá v bodě x0 a
    • existují pravá i levá derivace této funkce v tomto bodě a
    • tyto derivace jsou si rovny,
    nazveme toto číslo derivací funkce f(x) v bodě x0 a označíme je f '(x0).
Poznámka

Pokud je funkce zapsána jako
y = ..., její derivace se zapisuje y' = ....


Abychom určili derivaci, není třeba určovat levou a pravou derivaci a pak je porovnat. Můžeme použít přímý postup:

Věta

Jestliže pro funkci f(x) existuje její derivace v bodě x0, je tato derivace rovna 
lim (f(x0) - f(x)) / (x0 - x) = k.
x→x0
Důkaz
  • Podle definice limity ke každému kladnému číslu ε musíme být schopni najít kladné číslo δ takové, že bude splněna podmínka konvergence.
  • Je-li tedy zadáno nějaké každé kladné číslo ε,
    • podle definice existují kladná čísla δlevé a δpravé taková, že je splněna
      podmínka konvergence pro derivaci zleva a derivaci zprava.
    • Jestliže vezmeme menší z nich, bude splněna podmínka konvergence pro limitu z věty, protože libovolné x testované v podmínce konvergence musí ležet buď nalevo nebo napravo od x0.

Věta

Jestliže funkce f(x) je definovaná na nějakém okolí bodu x0 a má v tomto bodu derivaci
f '(x0), potom platí:
  • Jestliže f '(x0) > 0, potom f(x) je na nějakém okolí bodu x0 rostoucí.
  • Jestliže f '(x0) < 0, potom f(x) je na nějakém okolí bodu x0 klesající.
Důkaz
  • Vezmeme číslo ε = |f '(x0) / 2|. Toto číslo je podle předpokladů věty  > 0.
  • Podle definice derivace:
    • k tomuto ε
    • existuje kladné číslo δ takové,
    • že pro všechna x z δ okolí bodu x0 můžeme vypočítat číslo
      kx = (f(x0) - f(x)) / (x0 - x), pro které platí |f '(x0) - kx| < ε = |f '(x0) / 2|.
    • Tedy je |f '(x0) - kx| < |f '(x0) / 2|.
    • Dále ukážeme platnost věty pro f '(x0) > 0:
      • Platí f '(x0) - kx < f '(x0) / 2,
      • tedy f '(x0) / 2 < kx, čili kx > 0, čili (f(x0) - f(x)) / (x0 - x) > 0.
      • V tom případě ovšem f(x0) - f(x) a x0 - x mají stejná znaménka a proto vyhovují definici funkce rostoucí.
    • Pro f '(x0) < 0:
      • Platí -(f '(x0) - kx) < -(f '(x0) / 2), neboli f '(x0) - kx > f '(x0) / 2,
      • tedy f '(x0) / 2 > kx, čili kx < 0, čili (f(x0) - f(x)) / (x0 - x) < 0.
      • V tom případě ovšem f(x0) - f(x) a x0 - x mají různá znaménka a proto vyhovují definici funkce klesající.


Příklad

Obrázek znázorňuje:
  • zeleně funkci,
  • její derivace ve vybraných bodech jako fialová čísla,
  • fialové úsečky se směrnicí rovnou derivaci funkce
 v bodech:
  • x1 - v něm se funkce lomí, proto má pouze derivaci zleva a zprava,
  • x2 - v jeho okolí funkce neustále mění svůj směr, derivace tam neexistuje,
  • x3 - je bod, kde je funkce spojitá a "hladká", existují tam všechny tři derivace.
  • x4 - je bod nespojitosti, derivace tam neexistuje,
  • x5 - je bod nespojitosti zleva, existuje tam pouze derivace zprava.
  • x6 - je opět bod, kde je funkce spojitá a "hladká", existují tam všechny tři derivace.

Příklad

Spočtete derivaci funkce y = x2 v bodě 3.

Funkce y = x2 je v bodě 3 spojitá, takže se do výpočtu derivace můžeme pustit:
lim (9 - x2) / (3 - x) =
x→3
lim (3 - x) * (3 + x) / (3 - x) =
x→3
lim (3 + x) = 3 + 3
x→3
= 6

Dělení výrazem
(3 - x) korektní, protože jde o výpočet limity a tedy s x = 3 nepočítáme a tedy (3 - x) je vždy nenulové. 

Na obrázku jsou vidět tři sečny (tenké fialové přímky) vedené body A1, A2, A3 a tečna (tenká zelená přímka) vedená bodem A
 


Příklad

Funkce y = sin(1/x) * x s dodefinováním y(0) = 0 je v bodě 0 spojitá, ale nemá tam derivaci. 

Důkaz

Zkusme derivaci v bodě 0 spočítat: 

  • Dosadíme do odvozovacího vzorce pro derivaci: 
  • lim (y(x) - 0) / (x - 0) =
    x→0
    lim (sin(1 / x) * x) / x =
    x→0
    lim sin(1 / x)
    x→0
  • Vyšlo nám, že pro x→ 0 budeme vyčíslovat limitu sin(1 / x). Tato limita však neexistuje, protože pro x→ 0 oscilují hodnoty sin(1 / x) stále častěji mezi -1 a 1 a tedy např. již pro ε = 0,3 nenalezneme žádné δ vyhovující definici limity.
Ve všech ostatních bodech derivace existuje, můžeme ji spočíst podle vzorců