Posuny a otáčení souřadnic

Úvod

Operacemi posunu a otáčení souřadnic se budeme zabývat pouze pro dvojrozměrné  souřadné systémy. Pro trojrozměrné je princip stejný, pouze výpočty jsou složitější.

Tyto operace pracují tak, že k původnímu souřadnému systému vznikne ještě jeden, nový, který má:

  • buď jiný počátek O - jde o posun souřadnic,
  • nebo osy x a y pootočené o stejný úhel - jde o pootočení  souřadnic,
  • nebo obojí - jde o posun a pootočení souřadnic.
Prakticky se posun a otáčení souřadnic používají ve dvou typech úloh:
  • Máme zadán geometrický útvar vzorcem, který bychom rádi převedli na jiný tvar (například máme zadánu hyperbolu jako graf y = 1 / x a chceme ji převést na středový tvar).
  • Geometrický útvar umíme zadat v základním umístění (například elipsu ve středovém tvaru) a rádi bychom jej umístili posunutý a pootočený.



Posun souřadnic

Úloha

Je dán souřadný systém xOy se zakresleným bodem A = [Ax; Ay] = [2; 1,5].
Vytvořte nový souřadný systém x'O'y' posunutý:

  • v souřadnici x o dx = -4,6,
  • v souřadnici y o dy = 1,8.
Odvoďte souřadnice bodu A v tomto systému.

Řešení

Nový souřadný systém je zakreslen na obrázku. Souřadnice bodu A v tomto souřadném systému spočteme podle vzorců:

  • Ax_nová = Ax - dx,
  • Ay_nová = Ay - dy,
tedy A = [Ax_nová; Ay_nová] = [2 - (-4,6); 1,5 - (1,8)] = [6,6; -0,3].,

Praktická ukázka posunutých souřadnic je uvedena v analytické geometrii.


Pootočení souřadnic

Úloha

Je dán souřadný systém xOy se zakresleným bodem A = [Ax; Ay] = [4; 2]. Vytvořte nový souřadný systém x'Oy' pootočený o 42° a odvoďte souřadnice bodu A v tomto systému.

Řešení

Nový souřadný systém je zakreslen na obrázku. Abychom spočítali souřadnice bodu A v tomto souřadném systému, musíme použít goniometrii. Nejdříve odvodíme obecné vzorce:

  • Nová souřadnice na ose x je rovna součtu úseček OXx a XxX'
    • OXx = OX * cos(φ) = Ax *  cos(φ)
    • XxX' = OY * sin(φ) = Ay *  sin(φ) 
    Ax_nová = Ax *  cos(φ) + Ay *  sin(φ)
  • Nová souřadnice na ose y je rovna rozdílu úseček OXy a OYy
    • OXy = OX * sin(φ) = Ax *  sin(φ)
    • OYy = OY * cos(φ) = Ay *  cos(φ)
    Ay_nová = Ax *  sin(φ) - Ay *  cos(φ)
Do odvozených vzorců dosadíme:
  • Ax_nová = Ax *  cos(φ) + Ay *  sin(φ) = 4 * 0,743 + 2 * 0,669 = 4,31
  • Ay_nová = Ax *  sin(φ) - Ay *  cos(φ) = 4 * 0,669 + 2 * 0,743 = 1,19


Praktická ukázka pootočených souřadnic je uvedena v analytické geometrii.



Posun a pootočení souřadnic

Tento případ řešíme tak, že obě operace složíme, například tak, že napřed řešíme posun souřadnic a potom jejich pootočení.