Kružnice, kruh


Definice

Je-li dána:

  • rovina ρ,
  • bod S v této rovině
  • a vzdálenost r > 0,
  • potom kružnice k je geometrické místo bodů X, které leží v rovině ρ a mají od bodu S vzdálenost r.

Kružnici můžeme tedy zapsat:

k = {X ∈ ρ | |XS| = r}

Levý obrázek znázorňuje kružnici v rovině, pravý obrázek znázorňuje kružnici v prostoru.
X1, X2 a X3 jsou některé z bodů kružnice k.

S se nazývá střed kružnice.
r se nazývá poloměr kružnice.

Kruhem nazýváme plochu omezenou kružnicí.

Obvodem kruhu je délka kružnice, která kruh vymezuje.



Je-li dáno:
  • rovina ρ
  • bod S v této rovině,
  • vzdálenost r > 0,
  • úhel φ,
  • bod Z vzdálený r od S,
  • bod P vzdálený r od S, a vzniklý pootočením o φ z bodu Z.
potom kruhový oblouk o o úhlu φ je geometrické místo bodů X, které:
  • leží v rovině ρ,
  • mají od bodu S vzdálenost r,
  • jejich úhel XSZ = φ.
Bod Z nazveme počátečním bodem oblouku o.
Bod P nazveme koncovým bodem oblouku o.

Kruhový oblouk můžeme tedy zapsat:
o = {X ∈ ρ | |XS| = r & XSZ ≤ φ}.


Kružnice a přímka

Vybereme-li na kružnici k dva body A, B a spojíme je přímkou, tato úsečka se nazývá tětiva kružnice. Sama přímka s se nazývá sečna kružnice.

Přímka t, která se dotýká kružnice v jediném bodě T se nazývá přímka tečná ke kružnici neboli tečna kružnice. Přímka je tečnou kružnice právě tehdy, je-li vzdálenost přímky a kružnice rovna poloměru kružnice.

Tětiva, která prochází středem kružnice se nazývá průměr kružnice. Průměr kružnice:

  • je tětivou s největší možnou délkou,
  • jeho délka je 2 * r.
Přímka m, která nemá s kružnicí žádný společný bodě T se nazývá nesečna kružnice

Nesečna, sečna, tečna a průměr kružnice.



Úseč, výseč a mezikruží

Obrazec vymezený tětivou a obloukem tětivou vytknutým se nazývá úseč kruhu.

Je-li tětiva průměrem, úseč kruhu se nazývá polokruh.

Obrazec vymezený dvěma různými body na kružnici a středem kružnice se nazývá výseč kruhu.

Obrazec vymezený kružnicí k a menší soustřednou kružnicí m se nazývá mezikruží.



Středový a obvodový úhel kružnice

Máme dánu kružnici k se středem S. Vyznačíme na ní dva body A a B. Vyznačíme na ní úhel ASB nad obloukem AB a libovolně několik úhlů AOxB (my jsme udělali tři) nad stejným obloukem.

Úhel ASB nazveme středovým úhlem kružnice k, úhly AOB nazveme obvodovými úhly kružnice k.

Kružnice k má vlastně dva středové úhly, my jsme vyznačili ostrý, mohli jsme vyznačit tupý a situace by byla stejná. Je to vidět na obrázku dole, tam jsme pro přehlednost vyznačili pouze dva obvodové úhly.


Věta  o obvodových a středových úhlech

Každý obvodový úhel má poloviční velikost příslušného úhlu středového.

Speciálně pro středový úhel rovný 180°jsou všechny obvodové úhly rovny 90°, což je totéž jako: "Všechny úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé" (Thaletova věta):

Důkaz

Rozložíme jej na několik případů, které vyřešíme pomocí rovnoramenných trojúhelníků.

Případ 1.: Střed kružnice leží na uvnitř obvodového úhlu AOB - nakreslíme si pomocnou úsečku OC:

Trojúhelníky SBO a SAO mají vždy dvě strany rovné poloměru kružnice, proto jsou rovnoramenné. Proto také platí:
  • β1 + β1 = α1
  • β2 + β2 = α2
  • Obě rovnice sečteme a dostáváme kýžený výsledek:
  • 2 * (β1 + β2) = α1 + α2


Případ 2.: Střed kružnice leží na úsečce AO nebo AB - v tom případě jeden z rovnoramenných trojúhelníků přejde v úsečku: 

Zde přešel v úsečku trojúhelník SAO. Proto také platí rovnou :
  • β + β = α
Případ 3.: Střed kružnice leží mimo obvodového úhlu AOB - nakreslíme si pomocnou úsečku OC:
Zde nám vznikla zajímavá situace: vedle původní dvojice úhlů ASB a AOB máme další dvojici CSA a COA a ještě jednu součtovou CSB a COB. Obě nové dvojice jsou v konfiguraci Případ 2. a tedy jsou dokázané. Proto:
  • 2 * (β2 + β1) = α2 + α1
  • 2 * β2 = α2
  • Druhou rovnici odečteme od první a dostáváme kýžený výsledek:
  • 2 * β1 = α1


Případ 4.: Středový úhel je 180° - nakreslíme si pomocnou úsečku OC:

Vidíme, že tento případ je pouze poněkud překreslený Případ 1. - důkaz je zcela stejný.

Případ 5.: Středový úhel je větší než 180° - nakreslíme si pomocnou úsečku OC:

Vidíme, že tento případ je opět pouze poněkud překreslený Případ 1. - důkaz je zcela stejný.

Poznámka

Thaletova věta nám umožňuje vymyslet si novou definici kružnice:

Máme-li dánu úsečku AB, kružnice je:

  • množina vrcholů pravých úhlů sestrojených nad a pod touto úsečkou,
  • plus oba krajní body úsečky.

  • Délka kružnice

    Nakresleme si:

    • kružnici o průměru d a poloměru r (r = d/2),
    • této kružnici opsaný čtverec
    • a vepsaný šestiúhelník:
    Z obrázku je vidět, že:
    • obvod čtverce opsaného je:
           Lčtverce = 4 * d
    • obvod šestiúhelníka vepsaného je:
    •       Lšestiúhelníka = 6 * r = 3 * d
    • délka kružnice leží mezi těmito délkami, tedy:
    •       Lšestiúhelníka = 3 * d  <  Lkružnice  <  4 * d = Lčtverce.
    Neboli, délka kružnice je součinem průměru kružnice d a zatím neznámé převodní konstanty ležící mezi 3 a 4.

    Tato konstanta se
    označuje π a nazývá se nebo též Ludolfovo číslo. Vzorec pro výpočet délky kružnice je potom
    Lkružnice = π * d.


    Zjišťování hodnoty čísla π
    • Staří Babyloňané používali hodnotu π = 25/8 = 3,125.
    • Staří Egypťané používali hodnotu π = 256/81 ≈ 3,16.
    • Staří Číňané používali hodnotu π = 284/90 ≈ 3,156.
    • Archimedes spočetl, že 3,14 ≈ 223/71 < π < 22/7 ≈ 3,1429.
    • Kolem roku 1700 byla hodnota π upřesněna na mnoho desetinných míst a byla zavedena dnešní označení π a Ludolfovo číslo.
    • Při počítání:
      • pro běžné použití bereme π 3.14,
      • pro přesnější výpočty pak π 3.14159,
      • nebo můžeme vzít ještě více cifer z hodnoty
        π 3.1415926535897932384626433....

    Matematici dokázali, že hodnotu π nelze přesně zjistit žádným konečným výpočtem. Můžeme ji ovšem zjistit na libovolný počet desetinných míst. Čísly s touto vlastností se budeme dále zabývat v aritmetice

    Postupů pro výpočet π je mnoho, my si jeden ukážeme v dalším textu této stránky a druhý později, v goniometrii.



    Délka oblouku kružnice

    Je-li zadán oblouk kružnice:

    • středem kružnice S a poloměrem r,
    • počátečním bodem Z, ze kterého pootočením o úhel φ vznikl koncový bod P.
    Délka oblouku o bude rovna:
    • pro úhel φ ve stupních: o = r*φ*π / 180,
    • pro úhel φ v obloukové míře: o = r*φ.
    Na tomto výpočtu je vidět výhoda používání obloukové míry - výpočty jsou jednodušší.


    Obsah kruhu

    Nakresleme si kruh o průměru d a poloměru r (r = d/2):

    Obsah čtverce opsaného je:
    Sčtverce = d2

    Obsah kruhu je zřejmě přímo úměrný obsahu čtverce opsaného, je však menší. Odhadem je roven d2 * 3 / 4 obsahu čtverce opsaného, přesně je roven d2 * π / 4 tohoto obsahu.

    Důkaz

    Nakreslíme si kruh o poloměru r:

    • Myšleně rozřežeme kruh na spoustu kruhových výsečí.
    • Přeřízneme hraniční kružnici a rozvineme ji na úsečku.
    • Tato úsečka má délku 2*π*r a nad ní se do výšky r vypínají trojúhelníkovité výseče.
    • Čím jich je více, tím více se podobají velmi úzkým trojúhelníkům a tím více se rozvinutý obsah kruhu blíží polovině obsahu obdélníka o ploše 2*π*r* r.
    • Proto plocha kruhu 

    •       Skruhu = 2*π*r*r / 2 = π * r2 = π * d2 / 4.


    Výpočet hodnoty čísla π pomocí programu

    V minulém odstavci jsme si odvodili vzorec pro obsah kruhu
    Skruhu = π * r2.
    Tento vzorec lze použít k výpočtu hodnoty čísla π pomocí chytré a jednoduché metody, která se nazývá Monte Carlo. Program pracuje takto:
    • Nakreslí si čtverec a do něj vepsaný kruh.
    • Do čtverce náhodně umisťuje body a počítá, kolik z nich padlo do kruhu.
    • Poměr počtu bodů v kruhu a počtu bodů ve čtverci je přibližně roven poměru obsahu kruhu a obsahu čtverce.
    • Proto můžeme napsat:
      početv_kruhu  / početcelkem Skruhu / Sčtverce = π * r2 / (4 * r2) = π / 4.
    • Protože se jedná o náhodně určené body, nelze přesně stanovit přesnost výpočtu. Ale dá se říci "Čím více bodů, tím přesnější bude hodnota vypočteného π."
     
    Nastavíme parametry výpočtu:

    Počet výpočtů: a =         

    Počet pokusů: b = 

    Sorry, your browser does not support canvas. 


     

    Dvě kružnice

    Rozeznáváme několik různých typů poloh dvou kružnic k a m o středech Sk a Sm a poloměrech rk a rm:

    Neprotínající se, nevložené: |Sk Sm| > rk + rm


    S vnějším dotykem: |Sk Sm| = rk + rm


    Protínající se: |Sk Sm| < rk + rm


    S vnitřním dotykem: |Sk Sm| = |rk - rm|

    Jedna vložená v druhou: |Sk Sm| < |rk - rm|


    Soustředné |Sk Sm| = 0 & rk rm


    Totožné: |Sk Sm| = 0 & rk = rm