Úloha goniometrie a její řešení



Stanovení úlohy

Z konstrukčních vět sss, sus a usu víme, že při zadaní třech údajů je trojúhelník již jednoznačně určen. Tyto konstrukce sice trojúhelníky věrně zobrazí, ale vzhledem k nepřesnosti rýsování nám obecně neumožňují získat o nich přesné údaje.

Příklad 1

Máme zadán trojúhelník s úhlem 53° a stranami 5 cm a 7 cm. Jeho narýsování podle věty sus není obtížné, ale získat číselně velikosti úhlů β a γ a strany a dokážeme jen přibližně:

Cílem goniometrie je nalezení výpočetního prostředku, který

  • pro libovolný, jednoznačně zadaný trojúhelník
  • umožní získat ostatní údaje o jeho stranách a úhlech.

Poznámka

Tyto ostatní údaje zatím umíme určit pouze u několika typů trojúhelníků, např.:

  • Rovnostranný trojúhelník má všech strany stejně dlouhé a jeho všechny úhly mají 60°.
  • Pravoúhlý trojúhelník, který je polovinou rovnostranného:
    • má úhly 60°, 90° a 30°,
    • z náčrtku odvodíme, že poměr přepony a kratší odvěsny je 2,
    • z Pythagorovy věty odvodíme, že poměr přepony a delší odvěsny
      je 2 / 3.
  • Rovnoramenný trojůhelník, který je polovinou čtverce:
    • má úhly 45°, 90° a 45°,
    • z Pythagorovy věty odvodíme, že poměr každé z odvěsen ku přeponě
      je 1 / 2.


Příprava na řešení úlohy

1. Krok

Úlohu si usnadníme tím, že každý trojúhelník umíme pomocí výšky spuštěné z největšího úhlu rozdělit na dva pravoúhlé, například:

 
Pokud získáme velikosti stran a úhlů těchto pravoúhlých trojúhelníků, již snadno vypočítáme strany a úhly celého trojúhelníka.

Bude tedy stačit, když se budeme zaobírat pouze pravoúhlými trojúhelníky.


2. Krok

Dále si úlohu usnadníme tím, že se budeme zabývat pouze pravoúhlými trojúhelníky s přeponou rovnou 1, tedy s tzv. jednotkovou přeponou.  Z jejich údajů totiž lze, pomocí našich znalostí o podobnosti, odvozovat údaje všech ostatních pravoúhlých trojúhelníků.


3. Krok
Abychom mohli přehledně studovat všechny možné pravoúhlé trojúhelníky s jednotkovou přeponou, zakreslíme si je do jednotkové kružnice:
  • Narýsujeme kružnici k o poloměru c a středu A,
  • zakreslíme průsečík O kružnice k a vodorovné přímky procházející bodem A
  • zakreslíme orientovaný úhel α odměřený od bodu O.
  • Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník určený přeponou o délce c a úhlem α.
  • Zakreslíme bod B.
  • Spuštěním kolmice na úsečku AO získáme bod C.
  • Strana a je potom úsečka CB,
  • Strana b je úsečka AC.
  • Jsme ve stejné situaci jako v příkladu 1, tj. vše umíme narýsovat, ale délky stran a a b obecně spočítat neumíme.
  • Navíc máme znázorněn pohyb bodu B, při kterém:
    • poloha bodu B je určována úhlem α,
    • délky stran a a b jsou určovány polohou bodu B, přitom
      • a je odvěsnou protilehlou k α,
      • b je odvěsnou přilehlou k α.
    • Při pohybu bodu B z do 90° nabude trojúhelník ABC všechny možné podoby pravoúhlého trojúhelníka s přeponou dlouhou c.


Řešení úlohy

Spočívá v nadefinování sady funkcí, kterými se převádějí úhly na poměry stran v pravoúhlém trojúhelníku.

Tyto funkce se nazývají funkce goniometrické.

Jméno funkce  Určuje se jako poměr stran   Označuje se1
sinus úhlu α protilehlá odvěsna ku přeponě, t.j. a / c sin(α)
kosinus úhlu α přilehlá odvěsna ku přeponě, t.j. b / c cos(α)
tangens úhlu α protilehlá odvěsna ku přilehlé, t.j. a / b tg(α)
kotangens úhlu α přilehlá odvěsna ku protilehlé, t.j. b / a cotg(α)
sekans úhlu α přepona ku přilehlé odvěsně, t.j. c / b sec(α)
kosekans úhlu α přepona ku protilehlé odvěsně, t.j. c / a cosec(α)

Poznámky

  • Hodnoty goniometrických funkcí jsou v trojúhelníku ABC definovány jak pro úhel α, tak i pro úhel βPro úhel β si strany a a b zamění svoje role, takže platí:
sin(β)   = b / c   = cos(α)
cos(β)
= a / c
= sin(α)
tg(β)
= b / a
= cotg(α)
cotg(β) 
= a / b
= tg(α)
sec(β)
= c / a
= cosec(α)
cosec(β)
= c / b
= sec(α)
  • Jak vidíme, pro každý úhel je definována šestice hodnot. To je hodně, avšak v dalším se naučíme přepočítávat je mezi sebou, takže z jedné budeme umět odvodit ostatní.
  • V praxi se používají hlavně funkce sin(), cos() a tg(), protože zbývající jsou jejich obrácenými hodnotami a tedy nejsou tak potřebné.
  • Funkce inverzní ke goniometrickým se nazývají funkce cyklometrické. Podrobně je budeme probírat v matematické analýze. Používají se při zpětných převodech hodnot goniometrických funkcí na úhly, my při těchto převodech budeme používat mechanizmus inverzních funkcí na kalkulátorech. Budou to funkce:
    • arkus sinus, zkráceně arcsin,
    • která po zadání hodnoty sin(α) vrací α,
              tedy arcsin(sin(α)) = α, např. arcsin(1/2) = 30°
    • arkus kosinus, zkráceně arccos,
    • která po zadání hodnoty cos(α) vrací α,
              tedy arccos(cos(α)) = α, např. arccos(1/2) = 60°,
    • arkus tangens, zkráceně arctg,
    • která po zadání hodnoty tg(α) vrací α,
              tedy arctg(tg(α)) = α, např. arctg(1) = 45°.
  • Hodnoty goniometrických funkcí pro obecné úhly se nepočítají snadno.
    • Matematici je odvozovali složitými postupy a z odvozených hodnot potom sestavovali tzv. goniometrické tabulky, například tuto pro funkci kosinus.
    • V dnešní době se tyto tabulky již nepoužívají, protože jsou nahrazeny programy uloženými v kalkulátorech a počítačích.
  • 3. krok, kterým jsme umístili pravoúhlý trojúhelník do kružnice, naznačuje ještě jednu oblast, kde se uplatní goniometrie. Strany a a b jsou totiž průměty přepony na vodorovnou a svislou osu kružnice, tedy nám ukazují přeponu při pohledech zboku nebo shora. Znalost jejich velikostí má velký význam, například v technice určuje, jak se pohybuje pístový mechanizmus.

Goniometri se tak uplatňuje při pohybu těles, který se skládá z pohybu posuvného a otáčivého.