Rozšíření goniometrických funkcí
na všechny úhly

Rozšíření goniometrických funkcí pro další úhly
  • Můžeme si představovat, že náš bod B se po kružnici k pohybuje dále, za 90°, tj. z 1. čtvrtiny na 2. čtvrtinu kružnice, jak to ukazuje obrázek:
    • Trojúhelník ABC tam existuje také a tedy tam můžeme rozšířit i definici funkcí goniometrických.
    • Přitom úsečka AC změnila svoji orientaci, což se projevuje tím, že hodnoty cos(α) mají záporné znaménko.
  • Podobně bod B projde 3. a 4. čtvrtinu kružnice:
    • S pomocí trojúhelníka ABC tam rozšíříme definici funkcí goniometrických.
    • Znaménka hodnot funkcí se mění vždy při změně orientace příslušné strany, např. na třetí čtvrtině kružnice je záporný sin(α) i cos(α).
  • Tímto způsobem jsou funkce goniometrické definovány pro všechny úhly od až po 360°
  • Obrázek dole obsahuje v rozích vzorce, jak se pro tu kterou čtvrtinu kružnice určují hodnoty funkcí sin(α), cos(α) a tg(α) z jejich hodnot v rozsahu 0° - 90°.
  • Je vidět, že vše se dá odvodit z 1. čtvrtiny kružnice.
Znázornění 

Matematici dotáhli definici goniometrických funkcí ještě dále:

  • Dovolují bodu B volně se pohybovat dále za 360° a tedy dovolují, aby úhel α mohl nabývat libovolných kladných hodnot.
  • Dovolují bodu B i pohyb v opačném směru, tj. po směru hodinových ručiček, aby úhel α mohl nabývat libovolných záporných hodnot.
Goniometrické funkce pro takové úhly jsou definovány stále stejně, tj.: Z výkladu o rozšíření goniometrických funkcí plyne, že:
  • Hodnoty všech goniometrických funkcí jsou obecně nejednoznačné, protože při každém oběhu našeho bodu B po kružnici k obecně dvakrát vznikne ten samý poměr stran trojúhelníka ABC, například sinus(30°) = sin(120°).
  • Nicméně, pokud pro určitý úhel známe hodnotu dvou funkcí z trojice sin - cos - tg, nejednoznačnost lze odstranit použitím znaménka druhé funkce.
  • Například sin(45°) = sin(135°), ale známe-li též hodnotu cos(), oba úhly odlišíme, protože cos(45°) > 0 a cos(135°) < 0.
  • Hodnoty funkcí sinus a kosinus jsou vždy ≥ -1 a ≤ 1, protože odvěsna je vždy kratší než přepona.
  • Hodnoty funkcí ostatních mohou být neurčeny pro úhly , 90° a násobky 90°, protože děliteli v jejich definicích jsou délky odvěsen a ty mohou pro tyto úhly mít nulovou délku.



Elementární příklady

Příklady ukazují použití goniometrických funkcí. To probíhá podle společného schema:

  • Podle úlohy určíme pravoúhlý trojúhelník, který chceme řešit.
  • V něm najdeme dva známé prvky.
  • Dále určíme prvek, který chceme vyčíslit.
  • Pokud známe dvě strany a chceme spočíst třetí, použijeme Pythagorovu větu.
  • Jinak vybereme tu z funkcí sin(α), cos(α) a tg(α), ve které všechny tři prvky vystupují.
  • Zapíšeme definici vybrané funkce.
  • Do definice zapíšeme hodnoty obou známých prvků a jméno prvku neznámého.
  • Aritmetickými úpravami spočteme výsledek.



Příklad

V pravoúhlém trojúhelníku je známe úhel  α = 60° a odvěsnu přilehlou b = 5 cm. Jakou délku má odvěsna protilehlá a?

Řešení
  • Budeme pracovat s úhlem α a oběma odvěsnami a a b.
  • Podle definice se nám hodí tangens (stejně dobře by posloužil i kotangens).
  • Zapíšeme si definici: tg(α) = a / b.
  • Do definice dosadíme všechny tři prvky: tg(60°) = a / 5.
  • Pomocí kalkulátoru najdeme tg(60°) = 1,732.
  • Aritmetickými úpravami spočteme výsledek:
1,732
1,732 * 5
a
=
=
=
a / 5
a
8,66


Příklad

V pravoúhlém trojúhelníku známe přeponu c = 8 cm a stranu b = 3 cm. Jak je velký úhel β proti této straně?

Řešení

  • Známe c a b.
  • Hledáme úhel proti straně b, neboli strana b bude protilehlá odvěsna k β.
  • Pohledem na definice goniometrických funkcí vidíme, že přepona c a protilehlá odvěsna b figuruje ve funkcích sinus(β) (stejně dobře by posloužil i sekans(β)).
  • Zapíšeme si definici: sin(β) = b / c.
  • Dosadíme do definice:
  •      sin(β) = 3 / 8
         sin(β) = 0.375
  • Nyní známe hodnotu sin(β). Na kalkulátoru použijeme obrácenou operaci, tedy inverzní operaci k sinus, výsledek je β = 22.02°



Obrázek znázorňuje průběh funkcí sin(x), cos(x) a tg(x)