Zákony aritmetiky

Tyto zákony nám umožňují měnit pořadí aritmetických operací v aritmetických zápisech tak, abychom je mohli snadněji vyčíslovat či s nimi volněji manipulovat. 

Tyto zákony platí pro všechny druhy čísel. 

Nazývají se "zákony", jsou to však matematické věty odvozené z vlastností čísel. Budeme je dokazovat převedením na geometrické znázornění.
 


Komutativní zákon

Nazývá se též zákon o záměně pořadí operandů

Věta

Pokud vedle sebe stojí dva operandy spojené znaménkem +, − nebo *, můžeme operandy zaměnit.

Důkaz

1. Pro slučování (sčítání a odčítání) a + b = b + a

Obrázek geometricky představuje komutativní zákon pro sčítání:


Vždy můžeme úsečky pro a a pro b rozdělit na jednotkové délky a tyto délky sečíst, což je úkon na pořadí nezávisející.


2. Pro násobení a * b = b * a

Obrázek geometricky představuje komutativní zákon pro násobení: 


Vždy můžeme úsečky pro a a pro b rozdělit na jednotkové délky, takže vznikne čtvercová síť obdélníka. Počet dílů této sítě a jejich velikost nezávisí na pořadí a a b.


Příklady
  • 3 + 165 = 165 3 = 162
  • 3 * 165 = 165 * 3 = 495



Asociativní zákon

Nazývá se též zákon o sdružování operandů
Pokud vedle sebe stojí tři a více operandů spojených znaménky stejného typu, mohou se operace provádět bez ohledu na pořadí operandů.


Asociativní zákon pro slučování (sčítání a odčítání)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Obrázek geometricky představuje asociativní zákon pro slučování:
Celková délka čáry nezávisí na pořadí skládání úseček:


Asociativní zákon pro násobení
a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Obrázek geometricky představuje asociativní zákon pro násobení:
Objem kvádru nezávisí na pořadí úseček:


Poznámka

Protože operace dělení je shodná s násobením převrácenou hodnotou, můžeme asociativní zákon použít i pro dělení, ale jen tak, že všechny operace dělení převedeme na operace násobení převrácenou hodnotou, například:

  • 18 : 2 * 3
  • převedeme na 18 * 1/2 * 3
  • a spočteme výsledek 27.


Příklady
  • 16666217 − 3 + 2 = 16666214 + 2 = 16666217 − 1 = 16666216
  • 17 * 2 * 5 = 17 * 10 = 34 * 5 = 170
  • 80 : 4 : 5 = 80 * 1/4 * 1/5 = 80 * 1/20 = 4


Distributivní zákon

Máme-li tři a více čísel, potom platí:

a * (b + c + ...) = a * b + a * c + ....

Obrázek geometricky představuje distributivní zákon:
Plochy vlevo i vpravo jsou stejné - nezáleží na tom,

  • jestli sečteme b + c a součet vynásobíme a,
  • nebo jestli zvlášť vynásobíme a * b a a * c a sloučíme oba součiny.
Tento zákon se používá v obou směrech:
  • Zleva doprava se nazývá zákon o roznásobování závorky:
  • a * (b + c + ...) = a * b + a * c + ....
    Ze součinu jsme získali součet.
     
  • Zprava doleva se nazývá zákon o vytýkání před závorku:
  • a * b + a * c + ... = a * (b + c + ...).
    Ze součtu jsme získali součin.

Příklad na použití zákona o roznásobování závorky

5 * (100 + 6) = 5 * 100 + 5 * 6 = 500 + 30 = 530


Příklad na použití zákona o vytýkání před závorku

5 * 233 - 5 * 33 = 5 * (233 - 33) = 5 * 200 = 1000


Příklad na dvojité použití zákona o roznásobování závorky

Spočtěte (5 - 1) * (-3 + 6).

Řešení

Použijeme dvakrát zákon o roznásobování závorky:
(a + b) * (c + d) = (a + b) * c + (a + b) * d = a * c + b * c + a * d + b * d,

tedy po dosazení:
(5 − 1) * (−3 + 6) = (5 − 1) * −3 + (5 − 1) * 6 = −15 + 3 + 30 − 6 = −21 + 33 = 12