Vzorce pro počítání s mnohočleny
 


Základní vzorce

Jedná se o tři vzorce, které jsou sice snadno odvoditelné, ale počtář je musí umět zpaměti, aby je dokázal ve výrazech rozeznat a pak použít.

Jméno vzorce   neroznásobený
roznásobený
Druhá mocnina součtu
(a + b)2 =  
  a2 + 2ab + b2
Druhá mocnina rozdílu
(a − b)2 = 
  a2 − 2ab + b2
Rozdíl druhých mocnin
a2 − b2 =
(a + b) * (a − b)

Poznámky

  • Lze používat i řadu složitějších vzorců, například:
  • (a + b + c)2
    (a + b)3
    (a − b)3
    a3 + b3
    a3 −  b3


    =   a2 + b2 + c2+ 2ab + 2ac + 2bc
    =   a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    =   a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
    =   (a + b) * (a2 − ab + b2)
    =   (a − b) * (a2 + ab + b2)
    Ty se však ve výpočtech vyskytují zřídka. 
     
  • Při výpočtech někdy narazíme na mnohočlen a2 + b2. Bylo by milé, kdyby také pro něj existoval nějaký vzorec. Ten existuje, bohužel však až v oboru komplexních čísel, kde platí:
    • a2 + b2 = (a + i * b) * (a − i * b).
    V oboru reálných čísel je tento mnohočlen nerozložitelný.

Příklad
Upravte mnohočlen 25x2 + 10x + 1 na součin mnohočlenů.

Řešení
Vidíme, že výraz je podobný vzorci (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
proto zkusíme položit a = 5x a b = 1. Protože v tom případě 2ab = 2 * 5x * 1 = 10x,
úpravu lze provést:

25x2 + 10x + 1 = (5x)2 + 2 * 5x * 1 + 12 = (5x + 1)2



Příklad
Upravte mnohočlen 5u2 - 9 na součin mnohočlenů.

Řešení
Vidíme, že výraz je podobný vzorci a2 − b2 = (a + b) * (a − b)
proto položíme a = √5 * u a b = 3 a úpravu provedeme:

5u2 − 9 = (√5 * u + 3) * (√5 * u − 3)2



Příklad
Upravte mnohočlen √(4 − √7) * √(4 + √7).

Řešení

√(4 − √7) * √(4 + √7) =
√((4 − √7) * (4 + √7)) =    // použijeme větu n√(a * b) = n√a * n√b
√(42 − (√7)2) =                 // použijeme vzorec a2 − b2 = (a + b) * (a − b)
√(16 − 7) =
√9 =
3



Příklad
Upravte mnohočlen √(4 + 2 * √3)

Řešení
Klíčem k řešení této úlohy je člen 2 * √3, který připomíná člen 2ab ve vzorci
   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Členy a2 a b2 zručně vykouzlíme ze členu 4:
√(4 + 2 * √3) =
√(1 + 2 * √3 + 3) =
√(1 + 2 * √3 + (√3)2) =
√((1 + √3)2) =
1 + √3

Zkouška
1 + √3 = √((1 + √3)2)              // současně umocníme a odmocníme
            = √(1 + 2 * √3 + 3)      // mocninu roznásobíme
            = √(4 + 2 * √3)            // sloučíme
 



Příklad
Dokažte tvrzení: a2 + b2 + c2 >= ab + ac + bc pro libovolná reálná čísla. 

Řešení

  • a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc >= 0
  • to nám připomíná vzoreček (a - b)2 = a2 - 2 * a * b + b2
  • zkusíme tedy nerovnost šikovně přepsat 
    1/2 * a2 - a * b + 1/2 * b2 +
    1/2 * a2 - a * c + 1/2 * c2 +
    1/2 * b2 - b * c + 1/2 * c2 >= 0
  • dostáváme 1/2 * (a - b)2 + 1/2 * (a - c)2 + 1/2 * (b - c)2 >= 0
  • což je jistě pravda, protože: 
    • všechny rozdíly jsou reálná čísla,
    • druhá mocnina libovolného reálného čísla je >= 0
    • součet polovin nezáporných čísel je >= 0
    dokonce vidíme, že rovnost a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc nastane právě tehdy, když a = b = c, protože v takovém případě jejich rozdíly jsou nulové.



Binomická věta

Na vzorce (a + b)2, (a - b)2, (a + b)3, (a - b)3 a i další se můžeme dívat jako na případy jediného vzorce

(a + b)n.
Ty z nich, které obsahují znaménko "-" můžeme zapsat jako (a + (-b))n.

Rozvoj tohoto vzorce popisuje tzv. Binomická věta:

Mějme vzorec (a + b)n, a a b reálná nenulová čísla, n ≥ 1
Jestliže vzorec roznásobíme, dostaneme rovnost:

(a + b)n = (n0) * anb0 + (n1) * an-1b1 + ... + (nn-1) * a1bn-1 + (nn)* a0bn

ve které koeficienty n k jsou kombinační čísla.

Poznámka
Kombinační čísla n k se při tomto použití nazývají binomickými koeficienty

Důkaz

Úplnou indukcí: 

  • Pro n = 1 věta má tvar:
  • (a + b)1 = a + b  = anb0 + a0bn = 1 * anb0 + 1 * a0bn
    a protože víme, že:
    můžeme zapsat:
    1 * anb0 + 1 * a0bn = n0 * anb0 + nn * a0bn
    ,
    tedy věta platí.
  • Předpokládejme, že jsme ji dokázali pro nějaké n > 0. Dokážeme ji pro n + 1:
  • (a + b)n+1 = (a + b)n * (a + b) =
    // rozvineme (a + b)n a roznásobíme dvojčlenem (a + b):
    n0 * an+1b0 + n1 * anb1 + n2 * an-1b2 + ...
                       ... nn-1 * a2bn-1 + nn * a1bn +
           n0 * anb1 + n1 * an-1b2 + ...
                       ... nn-2 * a2bn-1 + nn-1 * a1bn + nn * a0bn+1 =

    // členy s shodnými mocninami a, b srovnáme k sobě:
    n0 * an+1b0 + (n1 * anb1       + n0 * anb1) +
                           + (n2 * an-1b2    + n1 * an-1b2) + ...
                       ... + (nn-1 * a2bn-1 + nn-2 * a2bn-1) +
                           + (nn * a1bn      + nn-1 * a1bn) + nn * a0bn+1 =

    // použijeme identitu nk + nk+1 = n+1k+1 již dokázanou dříve:
    n0 * an+1b0 + n+11 * anb1 +
                           + n+12 * an-1b2 + ...
                       ... + n+1n-1 * a2bn-1 +
                           + n+1n * a1bn + nn * a0bn+1 =

    // a jelikož je n0 = n+10 a také platí nn = n+1n+1, smíme napsat:
    n+10 * an+1b0 + n+11 * anb1 +
                               + n+12 * an-1b2 + ...
                           ... + n+1n-1 * a2bn-1 +
                               + n+1n * a1bn + n+1n+1 * a0bn+1

    čímž je věta dokázána.



Pascalův trojúhelník

Jestliže koeficienty binomických vět podle rostoucího n sestavíme do trojúhelníkového schema a na vrchol tohoto schema doplníme 0-tý řádek podle vzorce (a + b)0 = 1, získáme tzv. Pascalův trojúhelník.

Ten má zajímavé vlastnosti:

  • čísla na okrajích řádek jsou vždy 1,
  • každé číslo uvnitř trojúhelníka je součtem dvou čísel stojících nad ním.
Další vlastnosti Pascalova trojúhelníka si probereme u Fibonacciho posloupnosti.


Rozklad mnohočlenů na součin

Tato operace je operací obrácenou k násobení mnohočlenů. Provádíme ji dvěma způsoby:

1. Pomocí vytýkání

Hledáme společný činitel, prostřednictvím kterého mohl mnohočlen vzniknout.

Příklady

  • 7x + 14y = 7 * x + 7 * 2y = 7 * (x + 2y)      // vytknutí konstanty
  • 4x2 + 2x +1 = 2x * (2x + 1 + 1/(2x))            // vytknutí činitele
  • 4x3 + 4x2 + 3x + 3 =
  • 4x2 * x + 4x2 + 3 * x + 3 =
    4x2 * (x +1) + 3* (x +1) =
    (x +1) * (4x2 + 3)                                         // vytknutí dvojčlenu

2. Pomocí vzorců

Snažíme se objevit vzorec umožňující úpravu. vedoucí k zadání. 

Příklady

  • 4x2 + 4x +1 = (2x + 1)2
  • x2 - x +1/4 = (x - 1/2)2
  • -x2 + 2/3 * xy - y2 / 9 = -(x2 - 2/3 * xy + y2 / 9) = -(x - y / 3)2
  • 8x2 + 2xy - y2 =                        // (a ± b)2 nefunguje, zkusíme proto a2 - a2
  • 9x2 - y2 + 2xy - x2                // upravíme rozdělením x2 na dva členy
    9x2 - (y2 - 2xy + x2) =              // vytkneme znaménko minus
    (3x)2 - (y - x)2 =                        // už se ním podařily dvě mocniny
    (3x - (y - x)) * (3x + (y - x)) =  // sestavíme součin
    (4x - y) * (3x + y)                     // upravíme



Věta o doplnění na čtverec

Tato věta má uplatnění např. při řešení kvadratické rovnice nebo při práci s kuželosečkami

Věta

Je-li dán výraz a*x2 + b*x, a ≠ 0
je možno jej nahradit výrazem a*(x + b/(2a))2 - b2/(4a)

Důkaz

Je založen na vzorci (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:

  • Podle zadání je a ≠ 0
  • Vstupní výraz upravíme tak, aby u kvadratického členu byl koeficient 1:
  • a * (x2 + (b*x)/a)
  • Do výrazu doplníme výrazy b2/(4a2), aby později mohl nabýt formu součinu:
  • a * (x2 +  (b/a)*x       + b2/(4a2)   - b2/(4a2))
  • A upravíme podle běžných pravidel:
    a * (x2 +  2(b/(2a))*x + b2/(4a2)) - b2/(4a)
  • a * (x +  b/(2a))2                                   - b2/(4a)