Mnohočleny

Mnohočleny jsou pouze jedním z typů matematických výrazů. Probírají se jako zvláštní kapitola jen proto, že jsou dosti jednoduché a dobře se s nimi nacvičují úpravy výrazů.

Jednočlenem nazveme: Příklady
  • 0
  • 3,5
  • π 
  • 16p
  • x
  • 15a
  • 3 * 15 * a * a * a * a * a * x * x * x
Poslední příklad lze upravit na 45a5x3.

Je věcí zadání úlohy, aby označila, co jsou proměnné a co jsou parametry.

Součin konstant a parametrů se nazývá koeficient jednočlenu.

Příklad

Je-li v zadání úlohy určeno, že a je parametr a y a x jsou proměnné, potom jednočlen 16πa4yx3 se skládá z:

  • koeficientu 16πa4,
  • proměnných yx3.



Mnohočlenem nazveme jednočlen nebo součet několika jednočlenů. 

Příklady

  • 15: Jednočlen.
  • 15 - 3 + ax - 45a5x3: 4 jednočleny.
Poznámky
  1. Nazvání jednočlenu mnohočlenem vypadá trochu podivně, ale nám se bude hodit v dalším textu, abychom nemuseli mezi jednočleny a mnohočleny rozlišovat.
  2. Mnohočlen složený ze dvou jednočlenů se nazývá dvojčlen, ze tří  trojčlen atd.
  3. Množina koeficientů všech jednočlenů se nazývá koeficienty mnohočlenu.



Stupněm mnohočlenu nazveme nejvyšší součet exponentů proměnných u jednotlivých jednočlenů, ze kterých se mnohočlen skládá. 

Člen mnohočlenu, který je pouhým koeficientem, tj. neobsahuje proměnné, se nazývá absolutní člen mnohočlenu.

Mnohočlen stupně 1 se nazývá lineárním mnohočlenem.

Příklady

  • 2:
    • Stupeň tohoto mnohočlenu je 0.
    • Absolutní člen tohoto mnohočlenu je 2.
  • 6x:
    • Stupeň tohoto mnohočlenu je 1.
    • Absolutní člen tohoto mnohočlenu je 0.
  • 12 + ax - 45ax2, a a x jsou proměnné:
    • Stupeň tohoto mnohočlenu je 3.
    • Absolutní člen tohoto mnohočlenu je 12.
  • 12 + ax - 45ax2, a je parametr, x je proměnná:
    • Stupeň tohoto mnohočlenu je 2.
    • Absolutní člen tohoto mnohočlenu je 12.
  • 2x + 14y + 3z + 11 je lineární mnohočlen.

Mnohočlen v jedné proměnné se nazývá polynom.
Stupněm polynomu nazýváme nejvyšší exponent proměnné v polynomu.

Obecný zápis polynomu stupně n má tvar anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0.

Koeficienty an, ..., a0 se nazývají koeficienty polynomu.

Příklady

  • 23: Polynom stupně 0.
  • x + 23: Polynom stupně 1.
  • 23 + 7x2 - 45x13: Polynom stupně 13.
Poznámka

Někdy se definuje, že polynom může mít více proměnných, my si však vystačíme s jednou.