Pravidla povolených úprav

Povolenými úpravami výrazu rozumíme takové změny výrazu, které nemění jeho hodnotu při libovolné volbě hodnot proměnných z jejich definičních oborů.
  • Zásadní důležitost má tedy práce s proměnnými. Například při úpravách výrazu
  •       7ab - 8b + 3 + 4b - 2 + ab =
          7ab + ab - 8b + 4b + 3 - 2 =
           8ab - 4b + 1
    jsme proměnné nejdříve přerovnali a potom jsme sloučili členy se shodnými proměnnými. Takové úpravy jsou povoleny, dobře je vystihuje staré úsloví:
Sčítat lze pouze jablka s jablky a hrušky s hruškami.
  • Je třeba se naučit zručně zacházet se znaménkem minus.
  • Příklady:
    • 7a 8b + 3 + 4b + 12a = 5a 4b + 3
    • a * (8b + 3) 4ab = 8ab 3a 4ab = 4ab 3a
  • Znaménko minus - pokud nás matou pravidla pro práci se znaménky při sčítání a násobení - můžeme zpracovávat takto:
    • vždy je lze přepsat na násobení číslem 1
    • vždy patří k nějakému operandu a lze je s ním uzávorkovat.
    Příklady:
    • (8b 3) =
    • (1) * (8b + (1) * 3) =             // minusy přepíšeme na násobení 1
      (1) * (8b) + (1) * (1) * 3 =  // roznásobíme
      8b + 3                                      // upravíme výsledek
    • a * (−5b + 12) =
    • (a) * ((−5b) + 12) =                  // minusy uzávorkujeme k operandu
      (a) * (5b) + (a) * 12 =          // roznásobíme
      5ab 12a                                    // upravíme výsledek
  • Každou mocninu si můžeme rozepsat na součin.
    Příklady:
    • 3a3b3a3 = 3aaabbbaaa = 3aaaaaabbb = 3a6b3 - proměnné jsme nakonec přerovnali podle komutativního zákona.
  • Při úpravách používáme několik "chytrých vzorců". Pro úspěšné počítání příkladů musí počtář tyto vzorce znát, aby je ve výrazech rozeznal a tedy dokázal použít.
  • Při úpravách postupujeme po krocích tak, aby:
    1. výraz byl co nejkratší - např. pokud můžeme vykrátit zlomky nebo sečíst operandy, děláme nejdříve tyto operace a teprve dále děláme roznásobování závorek. 
    2. úkony mezi kroky byly srozumitelné - neděláme příliš mnoho operací najednou.
    Pro tuto metodu existuje hezká anglická zkratka:

    Kiss, neboli: Keep it small and stupid.
    (Česky: Starej se, aby to bylo malé a jednoduché.)



Následují příklady, jak pracovat nelze
  • Upravíme-li výraz 3 * a + 3 * b na výraz 3 * a * b,
    hodnoty těchto výrazů nejsou shodné pro všechny dvojice a a b, a proto taková úprava není dovolena.
  • Upravíme-li výraz 3 * a + 3 * b na výraz 6 * a * b,
    hodnoty těchto výrazů rovněž nejsou shodné pro všechny dvojice a a b, a proto taková úprava není dovolena.
  • Upravíme-li výraz (a + b) / (a + c) na výraz b / c,
    hodnoty těchto výrazů rovněž nejsou shodné pro všechny dvojice a a b, a proto taková úprava není dovolena.