Čísla celá


Definice

Čísla celá jsou souhrnem čísel přirozených, nuly a čísel celých záporných.

Množinu všech čísel celých označujeme .

Číslo 0 není ani kladné ani záporné.

V rámci čísel celých zmizí všechny problémy s odčítáním, např.:

  • 7 - 7 = 0
  • 5 - 9 = -4


Zobrazování čísel celých

Zobrazování čísel celých na číselnou osu je souhrnem zobrazení čísel přirozených, nuly a čísel celých záporných.



Operace s celými čísly

Úvod

Operace s celými čísly jednak ukazují jak pracovat s čísly zápornými a s nulou, jednak přinášení zjednodušení operací sčítání, odčítání, násobení a dělení.



Sčítání a odčítání celých čísel

Rozlišujeme čtyři základní typy sčítání a odčítání čísel:

  • Sčítání dvou kladných čísel, například 3 + 4 = 7.
  • Odčítání dvou kladných čísel, například 3 - 4 = -1.
  • Sčítání záporného a kladného čísla, například -3 + 4 = 1.
  • Odčítání záporného a kladného čísla, například -3 - 4 = -7.

Slovní popis těchto operací je složitý a neohrabaný, přitom s pomocí číselné osy je vše jednoduché a přehledné:

  • kladná čísla posouvají výsledek vpravo,
  • záporná čísla jej posouvají vlevo.
Například -3 - 4 = -7 znázorníme takto:



Matematici věc vyřešili elegantně a jednoduše:
  • Sčítání a odčítání považují za jednu operaci nazývanou slučování, do které může vstupovat i více operandů než dva.
  • Tato operace pracuje podobně jako operace na číselné ose, tj:
    • Na začátku práce nastaví výsledek na 0, protože na číselné ose se nastavuje počátek.
    • Dále postupně bere operandy a nastavuje výsledek na hodnotu, která by se nastavila na číselné ose.
    • Po zpracování všech operandů máme správnou hodnotu výsledku.
Příklad

Vypočtěte 5 –2 –11 + 12.

Řešení

Číselnou osu si pouze představíme a budeme počítat:
  • 0
    • 0 + 5 = 5
      • 5 - 2 = 3
        • 3 - 11 = -8
          • -8 + 12 = 4
Je tedy 5 –2 –11 + 12 = 4. Na číselné ose by bylo:




Násobení a dělení celých čísel

Jak víme, dělení je násobení převrácenou hodnotou, tedy stačí, když budeme řešit pouze násobení.

Rozlišujeme čtyři základní typy násobení čísel:

  • Násobení dvou kladných čísel, například 3 * 4 = 12:
    Jedná se o násobení podle definice.
  • Násobení záporného a kladného čísla, například -3 * 4 = -12:
    Jedná se opět o násobení podle definice.
  • Násobení kladného a záporného čísla, například 3 * -4 = -12:
    • Podle komutativního zákona je výsledek roven výsledku předchozího příkladu.
    • Při porovnání s prvním příkladem dostáváme nové pravidlo: záporný činitel mění výsledek na číslo opačné.
  • Násobení dvou záporných čísel, například -3 * -4 = 12:
    • Liší se od předchozího příkladu 3 * -4 = -12 změnou znaménka u čísla 4.
    • Použitím nového pravidla z předchozího příkladu se výsledek skutečně mění na 12.

Průzkumem základních typů násobení jsme získali souhrnné pravidlo pro násobení (a dělení):

  • Součin (podíl) dvou čísel se stejnými znaménky je číslo kladné.
  • Součin (podíl) dvou čísel s nestejnými znaménky je číslo záporné.
  • Pokud je některý činitel je 0 nebo dělenec je 0, potom výsledek je 0 a znaménky se nemusíme zabývat.


Násobení -1

Při práci s matematickými výrazy platí pravidlo:
  • Každé znaménko lze rozepsat jako násobení číslem –1.
Příklad 

Zjednodušte výraz 5 (30 6).

Řešení
  • Výraz 5 (30 6) přepíšeme na:
  • 5 + (1) * ((1) * 30 + (1) * 6)    // rozepsali jsme znaménko na násobení –1
  • 5 + (1) * ((1) * (30 + 6))            // distributivní zákon
  • 5 + (1) * ((1) * 36)                     // sloučeno
  • 5 + (1) * (1) * 36                       // odstraněna závorka mezi činiteli
  • 5 + 1 * 36                                      // odstraněn součin (–1) * (–1)
  • 5 + 36 = 41                                    // dořešíme



Čísla sudá a lichá

Čísla celá můžeme rozdělit na dvě podmnožiny podle jejich dělitelnosti číslem 2:

  • čísla dělitelná číslem 2, tedy čísla ... -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... se nazývají sudá,
  • čísla nedělitelná číslem 2, tedy čísla ... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... se nazývají lichá.



Neomezenost čísel celých zdola
  • Ke každému celému číslu můžeme vyrobit číslo o 1 menší.
  • Toto číslo umíme zapsat a pojmenovat.
Proto říkáme, že čísla celá jsou neomezená zdola