Zadávání útvarů

Geometrické útvary jsou množiny, proto je jako množiny zadáváme. Máme při tom dvě možnosti:


Obecné zadávání

Takové zadávání je použito v příkladech. Sestává z:

  • určení počtu proměnných,
  • určení jejich definičních oborů,
  • jednoduché nebo složené podmínky.
Abychom určili, zda nějaký bod je součástí zadaného útvaru:
  • Přesvědčíme se, zda jeho souřadnice spadají do definičních oborů odpovídajících proměnných.
  • Vyhodnotíme podmínku - pokud je splněna, bod je součástí útvaru, pokud splněna není, bod součástí útvaru není.
Příklad

Nakreslete v rovině útvar g = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = x3 & y > -1,5 }

Řešení

  • Protože proměnné jsou dvě a jsou označeny x a y, budeme zřejmě pracovat s kartézskými souřadnicemi v rovině.
  • Budeme v nich zobrazovat body X zadané dvojicemi souřadnic [x; y].
  • Definičním oborem obou proměnných je obor všech reálných čísel , tedy libovolná dvojice x a y mu vyhovuje a tedy se o něj nemusíme více starat.
  • Můžeme tedy brát libovolné dvojice x a y, testovat splnění podmínky a podle výsledku testování bod zakreslit nebo ne.
  • Výsledek je zakreslen na obrázku:
    • Tmavě zeleně je zakresleno řešení úlohy, čili body splňující celou podmínku.
    • Žlutavá oblast znázorňuje body splňující y > -1,5,
      ale nesplňující y = x3.
    • Světle zelená oblast znázorňuje body splňující y = x3,
      ale nesplňující y > -1,5,
    • Růžová oblast znázorňuje body splňující y <= -1,5,
      ale nesplňující y = x3.

Poznámky
  • Tento postup je sice hezký, ale má zásadní vadu: abychom dokázali vyhodnotit a zakreslit všechny body, potřebovali bychom nekonečný čas.
  • Ten nemáme a proto používáme postup jiný:
    • Pro dvě proměnné:
      • vybereme si jednu z proměnných, většinou to je x,
      • navrhneme, pro která x vyčíslíme y,
      • vyčíslené dvojice souřadnic zakreslíme jako body,
      • pospojíme je křivkou, protože předpokládáme, že útvar má tvar čáry, a tak získáme výsledný útvar.
    • Pro tři proměnné - postupujeme podobně, ovšem složitěji, protože místo x si volíme x a y a z nich počítáme z.
  •  Nejjednodušší je ovšem použít nějaký kreslicí program (tak byl získán i obrázek nahoře):
    • Do něj zadáme typ souřadného systému.
    • Podmínku.
    • Kreslicí barvy.
    • Dostaneme výsledek.
    • Ten podle potřeby upravíme v grafickém editoru:
      • upravíme útvar, pokud jsme v kreslicím program nemohli zadat definiční obory nebo část podmínky.
      • Dopíšeme popis útvaru.
    • Jako formát souboru se doporučuje PNG nebo GIF, nikoli JPG.


Parametrické zadávání útvarů

Někdy je zřejmé, že útvar může vznikat nějakým pohybem. V takovém případě bývá výhodné využít tento pohyb při zadání. Úloha se tak stane názornější a sestavování popisu množiny útvaru bývá snadnější.

  • Zmíněný pohyb je zachycen změnami jedné nebo více proměnných, které nazýváme parametrickými proměnnými.
  • Ty mají své definiční obory, které odpovídají zahájení a ukončení pohybu. Samo zadání útvaru se nazývá parametrickým zadáním.



Příklad

Zadejte čtvrtoblouk k kružnice s vlastnostmi:

  • poloměr kružnice je 3,
  • střed kružnice je v počátku dvojrozměrného kartézského souřadného systému,
  • čtvrtoblouk leží v 1. kvadrantu souřadného systému.

Řešení

Nakreslíme si pomocný obrázek:


Čtvrtoblouk zřejmě vzniká pohybem bodu P (viz obrázek dole)
  • z bodu A, kde úsečka OP s osou x svírá úhel ,
  • do bodu B, kde úsečka OP s osou x svírá úhel 90° čili π / 2.
Pro tento pohyb si zavedeme parametrickou proměnnou t, jejíž definičním oborem je velikost úhlu 0 ≤ t ≤ π / 2. V každém bodě pohybu bude platit:
  • sin(t) = x / 3, čili po úpravě x = 3 * sin(t),
  • cos(t) = y / 3, čili po úpravě y = 3 * cos(t).
Souhrnně můžeme zapsat zadání útvaru:
k = { X = [x, y]; x ∈ ; y ∈ | x = 3 * cos(t) ∧ y = 3 * sin(t) 0 ≤ t ≤ π / 2 },
neboli slovy:
     k je množina uspořádaných dvojic X se složkami x a y z ,
     pro které platí podmínka x = 3 * cos(t) y = 3 * sin(t) 0 ≤ t ≤ π / 2.


Obecné zadání příkladu můžeme sestavit s pomocí Pythagorovy věty:
  • Budeme vycházet z trojúhelníku OxP.
  • Pro něj platí x2 + y2 = 9.
  • Abychom se omezili na čtvrtoblouk, musíme omezit x a y na nezáporné hodnoty. Pak můžeme zapsat:
k = {X = [x, y]; x ∈ ; y ∈ | x2 + y2 = 9 x ≥ 0 y ≥ 0 }.


Příklad

Vygenerujte v rovině:

  • polovinu mezikruží o vnějším poloměru 3 a vnitřním poloměru 2,
  • se středem v počátku souřadnic.
  • Hranice útvaru nechť k němu nepatří.

Řešení

  • Protože požadovaný útvar je plocha a ne čára, budeme pro jeho parametrický popis potřebovat dva parametry, které si označíme t a u.
  • Každému bodu L obrazce bude odpovídat:
    • úhel sevřený úsečkou OL a osou x. To bude parametr t.
      Platí cos(t) = x / u.
    • jeho vzdálenost od počátku souřadnic O. To bude parametr u.
      Platí sin(t) = y / u.
  • Útvar pak bude zapsán např. takto:
         M = { X = [x, y]; x ∈
    ; y ∈ |
                    x = u * cos(t)
    y = u * sin(t) -π / 2 < t < π / 2 2 < u < 3




Příklad
  • Vygenerujte v rovině kosodélník mezi body [-3; -1], [1; -1], [-1; 2] a [3; 2].
  • Hranice útvaru nechť k němu patří.

Řešení

  • Protože požadovaný útvar je plocha a ne čára, budeme pro jeho parametrický popis potřebovat dva parametry, které si označíme t a u, které budou probíhat:
    • 0 ≤ t ≤ 4 a 0 ≤ u ≤ 3.
  • Ke každému bodu F = [x; y] obrazce můžeme dokreslit trojúhelník EFG:
    • který je podobný trojúhelníku ADJ, J = [-1, -3],
    • kde AE = t,
    • kde FG = u.
    • Proto bude EG / AJ = FG / DJ,
      čili EG = (FG * AJ) / DJ = u * 2/3,
      čili x = -3 + AE + EG = -3 + AE + (FG * AJ) / DJ = -3 + t + u * 2/3,
      a dále bude y = - 1 + u.
  • Kosodélník tedy zapíšeme např. takto:
    M = { X = [x, y]; x ∈
    ; y ∈ |
               x = -3 + t + u * 2/3 y = - 1 + u 0 ≤ t ≤ 4 0 ≤ u ≤ 3 }.



V oddílu analytické geometrie jsou i další příklady parametrického zadání, například přímky, roviny a šroubovice.