Vyjádření přímky


Přímka v analytické geometrii

Přímku v analytické geometrii můžeme zadat parametricky takto:

  • Vezmeme nějaký bod kterým přímka [x0; y0; ...] prochází. Počet souřadnic bodu je 2 nebo 3 podle dimenze prostoru, ve kterém pracujeme.
  • Ostatní body přímky budou mít souřadnice ve tvaru  [x0 + a*t; y0 + b*t; ...], kde:
    • a, b, ... jsou konstanty, z nichž alespoň jedna musí být  ≠ 0,
    • t je parametr (reálné číslo) vyjadřující, že všechny souřadnice se mění současně, čili body přímky získáváme dosazováním různých hodnot t.
Tak získáme tzv. parametrické rovnice souřadnic přímky:
  • x = x0 + a * t,
  • y = y0 + b * t,
  • ...
Poznámky
  • Pokud některé z konstant a, b, ... jsou nulové, příslušné souřadnice bodů přímky se se změnami t  nemění, tj. přímka je kolmá na příslušné osy (viz příklad).
  • Pro každou přímku s parametrickými rovnicemi
    • x = x0 + a * t,
    • y = y0 + b * t,
    • ...
    existuje nekonečně mnoho sad parametrických rovnic:
    • 1) sady s posunem počátku o konstantu t0:
      • x = x0 + a * t0 + a * t,
      • y = y0 + b * t0 + b * t,
      • ....
    • 2) sady s koeficienty vynásobenými konstantou c:
      • x = x0 + a * c * t,
      • y = y0 + b * c * t,
      • ....



Příklad v rovině

Jsou zadány vzorce x = 1 + t, y = 1 + 1,5 * t. Narýsujte jimi určenou přímku p.

Řešení

Na obrázku je zakresleno několik bodů přímky p pro několik hodnot t. Je vidět, že pro celočíselná t jsou jejich obrazy na přímce ve stejných vzdálenostech.

Přímka prochází m.j. body [1; 1], [3; 4], [1/3; 0], [0; -1/2].


Příklad v prostoru

Jsou zadány vzorce x = 1 + 2 * t, y = -1 + 4 * t, z = 1 + t.
Narýsujte jimi určenou přímku p.

Řešení

Na obrázku je zakreslena přímka p procházející bodem P1 = [1; -1; 1], jejíž souřadnice mají tvar [1 + 2*t; -1 + 4*t; 1 + 1*t]. Bod P2 = [3; 3; 2] získáme při dosazení t = 1.
 


Příklad přímky v prostoru se dvěma nulovými koeficienty

Jsou zadány vzorce x = 1, y = 3, z = 1 + 2 * t. Narýsujte jimi určenou přímku p.

Řešení

Takto zadaná přímka p prochází bodem P0 = [1; 3; 1]. Její další bod P1 = [1; 3; 3] získáme při dosazení t = 1. Tím, že v parametrickém vyjádření jsou dvě konstanty u parametru t nulové, přímka je kolmá na osy x a y a je tedy rovnoběžná s osou z.
 


Další způsoby zadávání přímky

Tyto způsoby jsou založeny na různých vlastnostech přímky. Pro každý ze způsobů si uvedeme jeho převod na zadání parametrické.



Zadání přímky bodem a vektorem

Bod P = [x0; y0] je počátkem vázaného vektoru daného vektorem v = (a; b). Body přímky p jsou koncové body vázaných vektorů daných všemi možnými násobky v reálným číslem.

Vektor v udává směr přímky p a proto se nazývá směrový vektor přímky p.

Příklad

Máme zadán bod P = [1; 1] a vektor v = (2; 3). Narýsujte jimi určenou přímku p.

Řešení

Přímka p vpravo od bodu P vznikla jako množina vrcholů vázaného vektoru při jeho násobení číslem > 0 (body přímky jsou vyznačeny zeleně a žlutě).
Přímka p vlevo od bodu P vznikla jako množina vrcholů vázaného vektoru při jeho násobení číslem < 0 (body přímky jsou vyznačeny žlutě).

Zadání převedeme na parametrické snadno:

  • x = x0 + 2 * t,
  • y = y0 + 3 * t,
protože obě zadání fungují podobně.


Zadání přímky obecnou rovnicí v rovině 

Toto zadání v množinovém zápisu vypadá takto:

     M = { [x; y]; x ∈ ℝ; y ∈ ℝ | u * x + v * y + w = 0, u ≠ 0 v ≠ 0  }

Příklad

Je zadán předpis -3/2 * x + 1 * y + 0,5 = 0. Narýsujte jím určenou přímku p.

Řešení

  • Pro narýsování přímky potřebujeme znát alespoň dva body jejího grafu.
  • První získáme například volbou x = 0, dostaneme y = -0,5, tedy bod [0; -0,5].
  • Druhý získáme například volbou y = 0, dostaneme x = 1/3, tedy bod [1/3; 0].


Převod parametrických rovnic na obecnou rovnici

Jsou-li zadány parametrické rovnice přímky:
x = x0 + a * t,
y = y0 + b * t

vyloučíme z nich t. Protože a nebo b může být nulové a mohli bychom mít problémy s dělením nulou, úlohu si rozdělíme na tři podúlohy:
  • a ≠ 0 & b ≠ 0:
    • x = x0 + a * t
    • y = y0 + b * t
    • (x - x0) / a = t
    • (y - y0) / b = t
    • (x - x0) / a = (y - y0) / b                // vynásobíme a * b a přerovnáme
    • b * x - b * x0 = a * y -  a * y0
    • b * x - a * y  + (-b * x0 + a * y0) = 0    // (-b * x0 + a * y0) je konstanta
  • a = 0 & b ≠ 0:
    • x = x0 + a * t
    • y = y0 + b * t
    • x = x0                      // upravíme první rovnici
    • x - x0 = 0                 // upravíme ji
    • b * x - b * x0 = 0    // upravíme ji vynásobením nenulovým b
    • b * x - b * x0 = a * y -  a * y0        // 0 vpravo nahradíme jinou nulou
    • b * x - a * y  + (-b * x0 + a * y0) = 0    // po úpravě máme výsledek
  • a ≠ 0 & b = 0:
    • x = x0 + a * t
    • y = y0 + b * t
    • y = y0                     // upravíme druhou rovnici
    • 0 = y - y0                // upravíme ji
    • 0 = a * y -  a * y0   // upravíme ji vynásobením nenulovým a
    • b * x - b * x0 = a * y -  a * y0         // 0 vpravo nahradíme jinou nulou
    • b * x - a * y  + (-b * x0 + a * y0) = 0    // po úpravě máme výsledek
Tak jsme se chytře vyhnuli dělení nulou a dostali ve všech případech stejný výsledek
b * x - a * y  + (-b * x0 + a * y0) = 0.
Poznámka
Některé prováděné úpravy byly hodně krkolomné, protože cílem bylo dosáhnout shodného výsledku ve všech třech podúlohách.


Převod zadání obecného na parametrické

Provedeme jej jednoduchým propočtem:
  • Nechť je dáno a * x + b * y + c = 0. Protože jedno z a a b může být nulové,
    úlohu si rozdělíme na dvě podúlohy.
  • Je-li a ≠ 0, určíme:
    • y0 = 0 a výpočtem dostaneme x0 = -c / a,
    • y1 = 1 a výpočtem dostaneme x1 = (-c - b) / a,
    • parametrické rovnice budou:
      • x = x0 + (x1 - x0) * t = x0 + ((-c - b) / a - (-c / a)) * t
           =
        x0 + (((-c - b - (-c)) / a) * t = x0 + (((- b)) / a) * t  
      • y = y0 + (y1 - y0) * t = y0 + (1 - 0) * t
           = y
        0 +  
    • Aby tyto rovnice byly symetrické, t vynásobíme a:
      • x = x0 - b * t,
      • y = y0 + a * t.
  • Jinak je b ≠ 0 a určíme:
    • x0 = 0 a výpočtem dostaneme y0 = -c / b,
    • x1 = 1 a výpočtem dostaneme y1 = (-c - a) / b,
    • parametrické rovnice budou:
      • y = y0 + (y1 - y0) * t = y0 + ((-c - a) / b - (-c / b)) * t
           =
        y0 + (((-c - a - (-c)) / b) * t = y0 + (((- a)) / b) * t  
      • x = x0 + (x1 - x0) * t = x0 + (1 - 0) * t
           = x
        0 +  
    • Aby tyto rovnice byly symetrické, t vynásobíme -b:
      • y = y0 + a * t,
      • x = x0 - b * t.
  • Pro obě podúlohy jsme dostali stejné vzorce.

Zadání přímky úsekovou rovnicí v rovině
  • Jsou zadány body P = [p; 0] a Q = [0; q], p, q≠ 0.
  • Vztah x / p + y / q = 1 se nazývá úsekový tvar přímky.

Postupným dosazením x = 0 a y = 0 zjistíme, že přímka prochází body P a Q, takže toto zadání je velmi názorné - stačí dosadit p a q do vzorečku a jsme hotovi.

Úsekovou rovnicí nelze zadat ani přímky kolmé na osu x ani přímky kolmé na osu y.

Příklad

Jsou zadány body [1/3; 0], [0; -1/2]. Narýsujte jimi určenou přímku p.

Řešení

Převod zadání úsekového na parametrické provedeme snadno:

  • x / p + y / q = 1
  • Za výchozí bod [x0; y0] vezmeme bod P průsečík přímky s osou x.
  • Složky vektoru pro parametrické rovnice dostaneme odečtení souřadnic dvou bodů na přímce, tedy bodů Q a P:
    • x = p + (0 - p) * t = p - p * t,
      y = 0 + (q - 0) * t = q * t.

Zadání přímky funkčním předpisem v rovině
 
Přímka f je zadána jako funkce s předpisem ve tvaru y = k * x + q, kde k a q jsou reálná čísla, tedy
f = { [x, y] ∈ × | y = k * x + q }.

Body [x; y] přímky dostáváme dosazováním různých hodnot za x.

V tomto způsobu zadání můžeme zadat přímku rovnoběžnou s osou x tak, 
že položíme k = 0.
Nelze však zadat přímku rovnoběžnou s osou y, neboli přímku kolmou na osu x.

Poznámka

Takto zadaná funkce se nazývá funkce lineární. Je zobecněním mocninné funkce s exponentem 1. Koeficienty lineární funkce mají svá jména:

  • k se nazývá směrnice,
  • q se nazývá úsek na ose y.

Příklad

Je zadán předpis y = 3/2 * x - 0,5. Narýsujte jím určenou přímku p.

Řešení

Přímka p vznikne jako množina  [x; y] tak, že ke každému reálnému x se vyčíslí y.

Převod funkčního zadání y = k * x + q na parametrické provedeme takto:

  • Za výchozí bod [x0; y0] vezmeme [0; q] - ten na přímce leží.
  • Za další bod [x1; y1] vezmeme bod [1; q + k] - ten na přímce rovněž leží.
  • Koeficienty pro parametrické rovnice dostaneme odečtení souřadnic těchto dvou bodů:
    • x = 0 + (1 - 0)       * t = t,
      y = q + (q + k - q) * t = q + k * t.
V našem příkladu bude x = t, y = 0,5 + 1,5 * t.
 

Animace přímky v rovině
Pro funkci ve tvaru  y = k * x + q nastavte parametry:

k = 

q = 


 

Sorry, your browser does not support canvas.