Kružnice, kruh


Úvod

Kružnice je definována jako množina bodů v jedné rovině, které mají stejnou vzdálenost r od zadaného bodu S

V analytické geometrii kružnici zapisujeme různými způsoby.


Středová rovnice kružnice v rovině
  • Je-li bod S totožný s počátkem souřadnic a poloměr kružnice je r, bude
  •      M = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | √(x2 + y2) = r }
  • Není-li bod S = [sx; sy] totožný s počátkem souřadnic, musíme jej do vzorce zahrnout tak, že upravíme souřadnice:
  •      M = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | √(x - sx)2 +  (y - sy)2) = r }
Tato vyjádření se nazývají středová, protože z nich je patrné, kde leží střed kružnice S a jaký je její poloměr r.

Často se rovnice zapisuje v upraveném tvaru bez odmocniny, který je stručnější:

  • M = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | x2 + y2 = r2 }
  • M = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | (x - sx)2 +  (y - sy)2 = r2 }
Příklad

Zapište středovou rovnici kružnice k o poloměru r = 3,3 a se středem v bodě S = [-1,5; -0,5].

Řešení

Dosadíme do výše uvedené rovnice:

k = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | √(x + 1,5)2 +  (y + 0,5)2) = 3,3 }



Obecná rovnice kružnice v rovině

Pokud rovnici upravíme, dostaneme tzv. rovnici obecnou, která má tvar
       x2 + y2 + a*x + b*y + c = 0.

  • Její výhodou je, že je dobře použitelná při výpočtech.
  • Její nevýhodou je, že z ní parametry kružnice nejsou zřejmé a dokonce se ani nemusí o kružnici jednat.
Příklad

Převeďte vzorec √((x + 1,5)2 +  (y + 0,5)2) = 3,3 na obecný tvar.

Řešení

  • √((x + 1,5)2 +  (y + 0,5)2) = 3,3
  • (x + 1,5)2 +  (y + 0,5)2 = 3,32                     // umocněno na 2
  • x2 + 3*x + 1,52 +  y2 + y + 0,52 = 3,32      // roznásobeno
  • x2 +  y2 + 3*x + y - 8,39 = 0                      // upraveno


  • Převod obecné rovnice kružnice na středovou

    Z předchozího příkladu je vidět, že převod středové rovnice kružnice na obecnou je dosti jednoduchý a že není složité jej obrátit. Jednočleny s x2, y2, x a y totiž vznikají jednoznačným způsobem při roznásobení závorek, pouze absolutní člen je nutno dopočítat.

    Příklad

    Převeďte vzorec x2 +  y2 + 14*x - 5*y - 200 = 0 na středový tvar, tedy 
    tvar x2 + y2 + a*x + b*y + c = 0 na tvar (x - sx)2 +  (y - sy)2 = r2.

    Řešení

    • Pokud by některý člen x2, y2 chyběl, nešlo by o rovnici kružnice
    • Pokud by byl koeficient u x2 byl různý od 1, podělili bychom rovnici tímto koeficientem
    • Pokud by y2byl různý od 1, nešlo by o rovnici kružnice
    • a = 14, tedy sx = -7
    • b = -5, tedy sy= 2,5 
    •  -200 převedeme na pravou stranu rovnice, kde tedy bude stát 200
    • Pro sestavení výrazu (x - sx)2 +  (y - sy)2 spotřebujeme (-7)2 a (2,5)2, celkem 55,25, které musíme odečíst od 200.
    • Výsledek bude: 
    • (x + 7)2 +  (y - 2,5)2 = 144,75 neboli √((x + 7)2 +  (y - 2,5)2) = 12,03.
    • Pokud by nám na pravé straně nevyšlo číslo kladné, nevyhověla by rovnice definici kružnice a proto by nešlo o rovnici kružnice.


    Kruh

    V analytické geometrii kruh zapisujeme jako kružnici, pouze relační znaménko = je nahrazeno:

    • buď znaménkem pro zápis kruhu včetně hraniční kružnice,
    • nebo znaménkem < pro zápis kruhu bez hraniční kružnice.
    Příklad

    Zapište geometrické místo bodů kruhu K:

    • o poloměru r = 3,3,
    • se středem v bodě S = [-1,5; -0,5],
    • kruh nechť zahrnuje hraniční kružnici.
    Řešení

    Použijeme podobný příklad vyřešený výše. Dostáváme množinu

    K = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | √((x + 1,5)2 +  (y + 0,5)2) ≤ 3,3 }