Příklady zadávání útvarů v rovině


Příklad 1 - Kruh

Určete a znázorněte útvar:

M = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | x2 + y2 ≤ 9 }
Řešení
  • Zápis x2 + y2 ≤ 9 připomíná Pythagorovu větu x2 + y2 = 32.
  • Vyzkoušíme několik bodů, A, ..., G, v souřadném systému:
  • Je vidět, že zápisu vyhovují pouze ty body , které mají vzdálenost od počátku  ≤ 3.

  • To je ovšem definice kruhu o poloměru 3 se středem v počátku souřadnic. A protože použité znaménko nerovnosti je a ne <, hraniční body (tj. hraniční kružnice) ke kruhu patří.
  • Zadaný útvar tedy vypadá takto:


Příklad 2 - Mezikruží

Zakreslete v kartézských souřadnicích mezikruží M se středem v počátku souřadnic O, o vnitřním poloměru 2 cm a vnějším poloměru 3 cm.

Řešení

Toto mezikruží M obsahuje všechny body X, pro které je 2 cm ≤ |OX| ≤ 3 cm.
Zapíšeme je takto:

M = { X | 2 ≤ |OX| ≤ 3 }

Jestliže tyto body budeme zapisovat do kartézských souřadnic ve tvaru X = [x; y], musíme upravit podmínky pro vzdálenost:

  • 2 ≤ |OX| ≤ 3
  • 2 ≤ |√(x2 + y2)| ≤ 3 - použijeme vzorec pro vzdálenost bodu X od počátku O
  • 2 ≤ √(x2 + y2) ≤ 3 - výraz v závorce je vždy ≥ 0, odmocnina bude též ≥ 0, tedy můžeme vypustit operaci absolutní hodnoty
Mezikruží v kartézských souřadnicích tedy zapíšeme takto:
M = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | 2 ≤ √(x2 + y2) ≤ 3 }


Příklad 3 - Graf výrazu

Nalezněte graf vztahu y = -1 + 0.5 * x + 0.1 * x2 + sin(5 * x).

Řešení

Sestavíme zápis geometrického místa:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = -1 + 0.5 * x + 0.1 * x2 + sin(5 * x)}

Jednotlivé body grafu získáme tak, že do rovnosti postupně dosazujeme různá x a vypočítáváme tak odpovídající y. V kartézské rovině bude graf vypadat takto:


Příklad 4 - Kolmá přímka

Nalezněte graf vztahu x = 1,5.

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | x = 1,5}
Geometrické místo jsou tedy všechny body, které mají souřadnici x = 1,5, na souřadnici y nezáleží, jelikož ta vyhoví vždy. V kartézské rovině bude graf vypadat takto:


Příklad 5 - Společné body útvarů

Nalezněte společné body vztahů y = x + 2 a y = 2 * x + 1.

Řešení
Sestavíme zápis geometrického útvaru:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = x + 2 & y = 2 * x + 1}
Pokud toto místo není prázdné, tedy pokud tam je nějaký bod [x, y], musí splnit oba vztahy současně pro své y. Pro toto y tedy musí být
x + 2 = 2 * x + 1
Ekvivalentními úpravami dostaneme:
x - 2 * x = 1 - 2
-x = -1
x = 1
Pro toto x vychází y = 3.

Řešení jsme tedy našli a je jen jedno, protože z podmínky jiné x ani y odvodit nelze. 

V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 

  • Řešení, tedy společný bod X = [1; 3] je vyznačen tmavě zeleně,
  • Pro představu o úloze je:
    • množina y = x + 2 zakreslena modrozeleně,
    • množina y = 2 * x + 1 zakreslena světle zeleně.


Příklad 6 - Rovnice 2. stupně

Nalezněte řešení vztahů (x + 2) * (x - 3) = 0 a současně y = 0.

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa bodů:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = (x + 2) * (x - 3) & y = 0}

Oběma vztahům vyhovují dva body a sice [-2; 0] a [3; 0].
Pro jiná x je součin nenulový a takové body nevyhoví druhé rovnosti.

V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 

  • Řešení, tedy společné body [-2; 0] a [3; 0] jsou vyznačeny tmavě zeleně,
  • Pro představu o úloze je:
    • množina y = (x + 2) * (x - 3) zakreslena světle zeleně,
    • množina y = 0 zakreslena modrozeleně.


Příklad 7 - Kolmé přímky

Nalezněte řešení vztahu (x + 2) * (x - 3) = 0.

Řešení
Toto geometrické místo bodů nezávisí na y, sestavíme jeho zápis:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = (x + 2) * (x - 3)}

V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 


Příklad 8 - Nerovnost - obrazec

Nalezněte řešení vztahu |x| + |y| ≤ 2.

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa bodů:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | |x| + |y| ≤ 2}
Geometrické místo bodů jsou tedy všechny body, které splňují vzorec |x| + |y| ≤ 2
Mohou to být pouze body blízko počátku, protože jakýkoli bod s absolutní hodnotou jedné souřadnice větší než 2 tam být nemůže

V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 


Příklad 9 - Nerovnost - polorovina

Nalezněte řešení vztahu y ≤ 2 - x.

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa bodů:

g = {X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y ≤ 2 - x}
Geometrické místo bodů tedy je polorovina, jejíž body splňují vzorec y ≤ 2 - x.
Hranice poloroviny, tj. přímka  y = 2 - x do ní patří, protože znaménko nerovnosti je .
V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 




Příklad 10 - Vertikální křivka

Nalezněte řešení vztahu x = sin(y).

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa bodů:

g = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | x = sin(y) }
V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 

Jedná se o známou křivku sinusovku, postavenou na výšku. Ke každému x je vztahem 
x = sin(y) přiřazeno nekonečně mnoho y, což v analytické geometrii je přípustné.
 
 


Příklad 11 - Horizontální křivka

Nalezněte řešení vztahu y = sin(x).

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa bodů:

g = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = sin(x) }
V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 

Jedná se o známou křivku sinusovku v běžném, tj. vodorovném znázornění. 
Ke každému x je vztahem y = sin(x) přiřazeno právě jedno y.


Příklad 12 - Útvar 3. stupně

Nalezněte řešení vztahů y = x3 a současně y > - 1,5.

Řešení
Sestavíme zápis geometrického místa bodů:

g = { X = [x; y]; x ∈ ; y ∈ | y = x3 & y > -1,5 }

V kartézské rovině bude řešení vypadat takto: 

  • Množina splňující y = x3, ale nesplňující y > -1,5 je zakreslena světle zeleně,
  • Množina splňující y > -1,5, ale nesplňující y = x3 je zakreslena modrozeleně.
  • Řešení je vyznačeno tmavě zeleně, bod [3√-1,5; -1,5] do něj nepatří, protože vyhovuje pouze podmínce y = x3, ale nevyhovuje podmínce y > -1,5.